בור פוטנציאל סופי

בור פוטנציאל סופי (באנגלית: Finite potential well) הוא מונח ממכניקת הקוונטים המהווה הרחבה רעיונית של בור הפוטנציאל האינסופי (חלקיק בקופסה), במסגרתה החלקיק תחום בקופסה, אך לקופסה יש קירות בעלי פוטנציאל סופי. שלא כמו בבור הפוטנציאל האינסופי, ישנה הסתברות גדולה מאפס למצוא את החלקיק מחוץ לקופסה; הפרשנות הקוונטית למודל זה שונה מהפרשנות הקלאסית, בה אם האנרגיה הקינטית של החלקיק נמוכה ממחסום האנרגיה הפוטנציאלית אז לא ניתן למצוא אותו מחוץ לקופסה. בפרשנות הקוונטית, ישנה תמיד הסתברות שונה מאפס למצוא את החלקיק מחוץ לקופסה גם כאשר קלאסית הוא לא יכול להיות שם (ראו גם מנהור קוונטי).

חלקיק בקופסה חד-ממדית

עבור המקרה החד-ממדי על ציר ה-x, משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן היא:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \quad (1)$

כאשר:

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$,

$h\,$ הוא קבוע פלנק,

$m\,$ היא מסת החלקיק,

$\psi \,$ היא פונקציית הגל המרוכבת שאנו רוצים למצוא,

$V\left(x\right)\,$ היא הפונקציה המתארת את האנרגיה הפוטנציאלית בכל נקודה x, ו-

$E\,$ היא האנרגיה, מספר ממשי שלעיתים מכונה אנרגיה עצמית.

בעבור המקרה של חלקיק בקופסה חד-ממדית באורך L, הפוטנציאל הוא $V_{0}$ מחוץ לקופסה, ואפס בעבור x בין $-L/2$ ל-$L/2$. פונקציית הגל חייבת להיות מורכבת ממספר פונקציות גל שונות בתחומים שונים של ציר ה-x, בתלות באם מדובר בפנים הקופסה או מבחוץ לה. לפיכך, פונקציית הגל תוגדר כך ש-:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\mbox{if }}x>L/2{\mbox{ (the region outside the box)}}\end{cases}}$

בתוך הקופסה

בתוך הקופסה V(x) = 0 ומשוואה 1 הופכת ל-

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.$

אם נרשום

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},$

אז המשוואה הופכת למשוואה

${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.$

זוהי משוואה דיפרנציאלית ידועה שפתרונה הוא:

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad .$

לכן,

$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.$

כאן, A ו-B יכולים להיות כל מספר מרוכב, ו-k יכול להיות כל מספר ממשי.

מחוץ לקופסה

בתחום שמחוץ לקופסה, כיוון שהפוטנציאל קבוע, V(x) = $V_{0}$ ומשוואה 1 הופכת למשוואה:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}$

ישנן שתי משפחות של פתרונות, האחת מתאימה למצב הקשור שבו האנרגיה E היא פחות מ- $V_{0}$ (כלומר כאשר החלקיק קשור לפוטנציאל), והשנייה מתאימה למצב שבו E גדולה מ-$V_{0}$ (החלקיק חופשי).

בעבור חלקיק חופשי, E > $V_{o}$, ואם נסמן

$k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$

נקבל את המשוואה

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}$

שלה אותה צורת פתרון כמו בתוך הקופסה:

$\psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)\quad$

הערך הזה יתמקד במצב הקשור, כאשר $V_{0}$ > E. נסמן

$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$

ונקבל את המשוואה

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}$

שבה הפתרון הכללי הוא אקספוננטים:

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$

בדומה לכך, בתחום השני שמחוץ לקופסה נקבל:

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$

כדי למצוא את הפתרון לבעיה הספציפית הזאת, יש לציין את תנאי השפה ולמצוא את הערכים של הקבועים A, B, F, G, H ו-I עבורם מתקיימים התנאים האלה.

מציאת פונקציות הגל עבור המצב הקשור

פתרונות למשוואת שרדינגר חייבים להיות רציפים וגזירים ברציפות. דרישות אלו מקנות תנאי שפה על המשוואות דיפרנציאליות שנגזרו מקודם, כלומר תנאי התאמה בין הפתרונות מבפנים ומבחוץ לקופסה המאפשרים לנו "לתפור" את חלקי הפתרון זה לזה. במקרה זה, בור הפוטנציאל הוא סימטרי, כך שניתן לנצל את הסימטריה הזאת כדי לצמצם את מספר המשוואות הדרושות.

נסכם את התוצאות עד כה:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\mbox{if }}x>L/2{\mbox{ (the region outside the box)}}\end{cases}}$

כאשר $\psi _{1},\psi _{2}\,\!$ ו-$\psi _{3}\,\!$ הן:

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad$

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$

ניתן לראות שכאשר $x$ שואף ל-$-\infty$, איבר ה-$F$ שואף לאינסוף. בדומה לכך, כאשר $x$ שואף ל-$+\infty$, איבר ה-$I$ שואף לאינסוף. כדי שפונקציית הגל תהיה אינטגרבילית בריבוע, חייב להתקיים התנאי $F=I=0$, וכך מקבלים

$\psi _{1}=Ge^{\alpha x}\,\!$

and

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}\,\!$

לאחר מכן, אנו יודעים כי הפונקציה $\psi \,\!$ חייבת להיות רציפה וגזירה. במילים אחרות, הערכים של הפונקציות והנגזרות שלהן חייבים להיות תואמים בנקודות ההפרדה בין התחומים:

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)\,\!$
${\frac {d\psi _{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi _{2}}{dx}}(-L/2)\,\!$		${\frac {d\psi _{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi _{3}}{dx}}(L/2)\,\!$

כיוון שהפוטנציאל זוגי, למשוואות אלו יש שני סוגי פתרונות: סימטריים, שבהם $A=0$ ו-$G=H$, ואנטי-סימטריים, בעבורם $B=0$ ו-$G=-H$. בעבור המקרה הסימטרי אנו מקבלים

$He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)$

$-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)$

כך שאם נחלק את המשוואות זו בזו נקבל

שורשים של המשוואה לרמות אנרגיה מקוונטטות בבור פוטנציאל סופי.

$\alpha =k\tan(kL/2)$.

בדומה לכך עבור המקרה האנטי-סימטרי מקבלים

$\alpha =-k\cot(kL/2)$.

ניזכר כעת שגם $\alpha$ וגם $k$ תלויים באנרגיה. את הממצאים הללו ניתן לפרש פיזיקלית: תנאי הרציפות לא יכולים להתקיים עבור ערכים שרירותיים של האנרגיה, ובמקום זאת, רק רמות אנרגיה מסוימות, המתאימות לפתרונות של המשוואות לעיל, מותרות. לפיכך רמות האנרגיה של המערכת שנמצאות מתחת ל-$V_{0}$ הן בדידות; הפונקציות העצמיות המתאימות להן הן מצבים קשורים של בור הפוטנציאל (בניגוד לכך, רמות האנרגיה מעל $V_{0}$ הן רציפות).

משוואות האנרגיה לא ניתנות לפתרון אנליטי. עם זאת, ניתן לראות שבמקרה הסימטרי, תמיד קיים לפחות מצב קשור אחד, גם אם הבור מאוד רדוד. פתרונות גרפיים או נומריים ניתנים להפקה באמצעות הגדרת מספר משתנים חסרי ממדים: $u=\alpha L/2$ ו-$v=kL/2$, ולהבחין בכך שמההגדרות של $\alpha$ ו-$k$ נובע $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$, כאשר $u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}$, והמשוואות השלטות הן:

${\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\mbox{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\mbox{(antisymmetric case) }}\end{cases}}$

בגרף שמשמאל, בעבור $u_{0}^{2}=20$, פתרונות קיימים כאשר חצי המעגל הכחול חותך את הענפים הסגולים או האפורים ($v\tan v$ ו- $-v\cot v$; הענפים הסגולים מייצגים פתרונות גל סימטריים והאפורים מייצגים פתרונות אנטי-סימטריים). כל עקום סגול או אפור מייצג פתרון אפשרי, $v_{i}$ בטווח ${\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i$. המספר הכולל של פתרונות, $N$ (כלומר מספר הענפים שנחתכים על ידי חצי המעגל הכחול), ניתן לקביעה מחלוקת רדיוס המעגל הכחול, $u_{0}$, בטווח של כל פתרון $\pi /2$. כלומר:

$N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil$

במקרה זה ישנם בדיוק שלושה פתרונות, כיוון ש-$N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$.

פתרונות עבור בור הפוטנציאל.

$v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ and $v_{3}=3.73$, והאנרגיות המתאימות,

$E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}$.

ניתן גם לחזור כעת אחורה ולמצוא את הערכים של הקבועים $A,B,G,H$ במשוואות (יש להכפיף אותן גם לתנאי הנרמול של פונקציית הגל). משמאל ניתן לראות את רמות האנרגיה ואת פונקציות הגל במקרה זה (כאשר $x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}$).

נשים לב שגם בעבור ערכים קטנים של $u_{0}$ (בור רדוד או צר), תמיד ישנו לפחות מצב קשור אחד. שני מקרים פרטיים הם חשובים במיוחד וראויים לציון. כאשר גובה הפוטנציאל הולך וגדל,$V_{0}\to \infty$, רדיוס חצי המעגל הופך גדול מאוד והשורשים הולכים ומתקרבים לערכים $v_{n}=n\pi /2$ - והרי אלו בדיוק הערכים של רמות האנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי.

המקרה האחר הוא זה של בור צר מאוד ועמוק מאוד - ספציפית המקרה בו $V_{0}\to \infty$ וגם $L\to 0$ באופן כזה ש-$V_{0}L$ עומד על ערך קבוע. כיוון ש- $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$, נקבל שהוא ישאף לאפס, וכך יהיה רק מצב קשור אחד. הפתרון המקורב המתקבל הוא $v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}$, והאנרגיה תשאף ל-$E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$. אבל זוהי בדיוק האנרגיה של המצב הקשור של פוטנציאל דלתא בחוזק $V_{0}L$!

בור פוטנציאל אסימטרי

נניח כעת בור פוטנציאל חד-ממדי אסימטרי הניתן בפוטנציאל:

$V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\mbox{if }}-\infty <x<0{\mbox{ (the region outside the box)}}\\0,&{\mbox{if }}0<x<a{\mbox{ (the region inside the box)}}\\V_{2}&{\mbox{if }}a<x<\infty {\mbox{ (the region outside the box)}}\end{cases}}$

כאשר $V_{2}>V_{1}$. הפתרון המתאים לפונקציית הגל כאשר מתקיים $E<V_{1}$ הוא:

$\psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\mbox{for }}x<0,{\mbox{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\mbox{for }}0<x<a,{\mbox{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\mbox{for }}x>a,{\mbox{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}$

כאשר:

$\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.$

יש לשים לב שקיומם של מצבים קשורים אינו מובטח במקרה האסימטרי; כיוון שתנאי הרציפות והגזירות של פונקציית הגל מאלצים את החלק האוסצילטורי של פונקציית הגל (החלק שבבור) לפגוש את שני החלקים הדועכים שלה במופעים שונים מסוימים, חייב להיות הפרש מופע מינימלי בין שני צידי הבור - ומכיוון שהבור בעל רוחב מוגדר וסופי הדבר מחייב מספר גל מינימלי ואנרגיה מתאימה מינימלית. אילו אנרגיה מינימלית זאת גבוהה מ-$V_{1}$ אז לא ייתכנו מצבים קשורים. כאן טמון ההבדל בין בור פוטנציאל סימטרי לאסימטרי - בבור פוטנציאל סימטרי ייתכן הפרש מופע שואף לאפס בין שני צידי הבור, ולכן לא משנה כמה רדוד או צר הוא, תמיד יהיה לפחות מצב קשור אחד.

רמות האנרגיה $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ במקרה האסימטרי נקבעות לאחר ש-$k$ מחושב מתוך המשוואה הטרנסצנדנטלית הבאה:

$ka=n\pi -\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{1}}}\right]-\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{2}}}\right]$

התוצאות בעבור בור פוטנציאל סימטרי מתקבלות מהצבת $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ במשוואה זו.

ראו גם

• בור פוטנציאל אינסופי
• מנהור קוונטי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

בור פוטנציאל סופי25747097