אנליזה לא סטנדרטית

אנליזה לא-סטנדרטית היא ענף במתמטיקה המבוסס על מודלים לא-סטנדרטיים של הישר הממשי, שבהם יש מובן מדויק למושג האינפיניטסימל ולמושגים הנגזרים ממנו כגון נגזרת ואינטגרל. אנליזה לא-סטנדרטית משתמשת בהרחבת שדה סדור של מספרים ממשיים לשדה סדור של מספרים היפר-ממשיים.

האנליזה הלא סטנדרטית פותחה לראשונה על ידי אברהם רובינזון בשנות ה-60 של המאה ה-20.

מודלים לא-סטנדרטיים

הרעיון היסודי באנליזה הלא-סטנדרטית הוא שאפשר ללמוד את התורה מסדר ראשון של שדה המספרים הממשיים גם במודלים גדולים, שאינם ארכימדיים (ארכימדיות אינה תכונה מסדר ראשון). כדי לבנות מודלים כאלה מתבוננים בתורה שלמה של הממשיים (תורה שכוללת, עבור כל נוסחה, את הנוסחה או את שלילתה), שיש בה סימני קבועים לכל מספר ממשי ולכל פונקציה או יחס, וקבוע מיוחד s, ומוסיפים לה את כל הנוסחאות $\ s>x$ עבור $\,x\in \mathbb {R}$ . בתורה המתקבלת יש מודל לכל קבוצה סופית של אקסיומות (על ידי בחירת הקבוע s גדול מספיק), ולפי משפט הקומפקטיות יש גם מודל, $\ \mathbb {R} ^{*}$ הנקרא המספרים ההיפר-ממשיים, לתורה כולה.

המודל הזה, לפי הדרך שבה הוא נבנה, מקיים את כל המשפטים מסדר ראשון המתקיימים ב- $\ \mathbb {R}$ (ובפרט זהו שדה סדור), אבל יש בו איבר, s, הגדול מכל המספרים הממשיים (ולכן זהו אינו שדה ארכימדי).

אם נסמן $\ F=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\exists r\in \mathbb {R} :x<r\}$ ("המספרים הסופיים") ו- $\ I=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall r\in \mathbb {R} ,r>0,r>|x|\}$ ("המספרים הקטנים לאינסוף"), אז $\ \mathbb {R}$ צפופה, F הוא חוג מקומי ו- I הוא האידאל המקסימלי של F, ו- $\ F/I\cong \mathbb {R}$ . להטלה מ- F אל הממשיים קוראים "החלק הסטנדרטי"; למשל, אם $\,s\not \in F$ , אז החלק הסטנדרטי של $\ \pi +{\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}$ הוא $\ \pi$ . מקובל לסמן $\ x\sim y$ אם ההפרש x-y אינפיניטסימלי.

על האיברים של I אפשר לחשוב כ"אינפיניטסימלים", ולהשתמש בהם כדי להגדיר את המונחים הבסיסיים של האנליזה הסטנדרטית. למשל, הגבול $\ \lim _{x\rightarrow a}f(x)$ הוא L, אם ורק אם לכל $\ \epsilon \in I$ מתקיים $\ f(a+\epsilon )-L\in I$ , ופונקציה $\ f:\mathbb {R} ^{*}\rightarrow \mathbb {R} ^{*}$ היא רציפה בנקודה $\ x=a\in \mathbb {R}$ , אם ורק אם לכל אינפיניטסימל $\ h$ , החלק הסטנדרטי של $\ f(a+h)$ שווה לזה של $\ f(a)$ . ההבדל בין רציפות נקודתית (נאמר, בכל $\ \mathbb {R}$ ) לבין רציפות במידה שווה הוא עדין ודק: הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל $\ x\sim y$ ב- $\ \mathbb {R} ^{*}$ מתקיים $\ f(x)\sim f(y)$ , ורציפה בכל נקודה אם התנאי הזה מתקיים כשמניחים $\ x\in \mathbb {R}$ .

מודל מפורש לאנליזה הלא-סטנדרטית

משפט הקומפקטיות ידוע באופיו הלא-קונסטרוקטיבי, והוא כרוך בטענות השקולות לאקסיומת הבחירה, כמו קיומם של על-מסננים לא-ראשיים. אף על פי כן, אפשר לתאר מודל ל- $\ \mathbb {R} ^{*}$ באופן אנלוגי לבנייה של שדה המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי.

הרעיון הוא שכל איבר בשדה ההרחבה $\ \mathbb {R} ^{*}$ ייוצג על ידי סדרה של מספרים ממשיים (כאשר המספר הממשי $\ \alpha$ מתאים לסדרה הקבועה שכל איבריה שווים ל- $\ \alpha$ ). לשם כך, נתבונן בחוג הסדרות הממשיות $\ \mathbb {R} ^{\omega }$ (עם הפעולות רכיב-רכיב). הסדרות המתאפסות ממקום מסוים ואילך בוודאי "שקולות לאפס", ולכן נאסוף את כולן לאידאל, D. לפי הלמה של צורן, קיים אידאל מקסימלי M המכיל את D (זהו הצעד הלא-קונסטרוקטיבי בבנייה), וחוג המנה $\ \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{\omega }/M$ הוא שדה, עם השיכון האלכסוני $\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{*}$ שתואר בתחילת הפסקה. מתברר שהשייכות של סדרה ל-M תלויה רק בקבוצת האינדקסים שבהם הסדרה אינה מתאפסת; ליתר דיוק, קיים על-מסנן לא-ראשי $\,U$ על קבוצת המספרים הטבעיים, כך ש- $\ (a_{n})\in M$ אם ורק אם $\ \{n:a_{n}=0\}\in U$ . מכיוון שזהו על-מסנן, בכל חלוקה סופית של המספרים הטבעיים, בדיוק חלק אחד שייך ל-U, ולכן אפשר להגדיר את יחס הסדר ב- $\ \mathbb {R} ^{*}$ כך ש- $\ (a_{n})>(b_{n})$ אם ורק אם הקבוצה $\ \{n:a_{n}>b_{n}\}$ ב-U. כל סדרה השואפת לאפס (במובן הרגיל) היא אינפיניטסימל. לכל איבר $\ (a_{n})$ יש חלק סטנדרטי, $\ \inf\{x\in \mathbb {R} :x>(a_{n})\}$ , שהוא נקודת הצטברות של הסדרה. בפרט, החלק הסטנדרטי של סדרה מתכנסת שווה לגבול שלה.