אינטגרל משטחי

במתמטיקה אינטגרל משטחי הוא הכללה של אינטגרל רב-ממדי לאינטגרציה על משטחים. אפשר לחשוב על אינטגרל משטחי כאנלוגיה של אינטגרל קווי עבור אינטגרל כפול. בהינתן משטח, ניתן לבצע עליו אינטגרציה של שדה סקלרי (שהוא פונקציה המחזירה סקלרים), במקרה זה האינטגרל נקרא לפעמים אינטגרל משטחי מסוג ראשון, או של שדה וקטורי (שהוא פונקציה המחזירה וקטורים), במקרה זה האינטגרל נקרא לפעמים אינטגרל משטחי מסוג שני.

לאינטגרלים משטחיים שימושים רבים בפיזיקה, בפרט בתחום של אלקטרומגנטיות קלאסית.

אינטגרל משטחי של שדה סקלרי

כדי למצוא ביטוי מפורש לאינטגרל המשטחי, אנחנו צרכים לבצע פרמטריזציה למשטח $S$ . לשם כך יש להגדיר מערכת קואורדינטות על המשטח, בדומה לקווי אורך ורוחב בכדור. תהי $\mathbf {x} (s,t)$ פרמטריזציה כזאת עבורה $(s,t)$ משתנים בתוך תחום $T$ במישור. אז האינטגרל המשטחי הוא:

$\iint _{S}f\,dS=\iint _{T}f{\bigl (}\mathbf {x} (s,t){\bigr )}\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|ds\,dt$

כאשר הביטוי $\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|$ ידוע בתור אלמנט שטח.

למשל, אם נרצה למצוא את שטח הפנים של משטח כלשהו: $z=f(x,y)$ נקבל:

$A=\iint _{S}dS=\iint _{T}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right\|dx\,dy$

כאשר $\mathbf {r} =(x,y,z)={\bigl (}x,y,f(x,y){\bigr )}$ , ומכאן נקבל:

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}={\bigl (}1,0,f_{x}(x,y){\bigr )},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}={\bigl (}0,1,f_{y}(x,y){\bigr )}$

ולבסוף:

${\begin{aligned}A&=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right\|dx\,dy=\iint _{T}\left\|\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}},-{\frac {\partial f}{\partial y}},1\right)\right\|dx\,dy=\iint _{T}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy\end{aligned}}$

שהיא הנוסחה הסטנדרטית עבור שטח של משטח המתואר בצורה זו. ניתן לזהות את הווקטור שנמצא בביטוי הטרום-אחרון בתור הווקטור המאונך למשטח (הווקטור הנורמלי למשטח). יש לשים לב כי בשל המכפלה הווקטורית, הנוסחה הנ"ל מתאימה רק למשטחים במרחב התלת-ממדי.

אינטגרל משטחי של שדה וקטורי

נניח שקיים שדה וקטורי $\mathbf {v}$ על משטח $S$ , כך שלכל $\mathbf {x} \in S$ מתקיים כי $\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ הוא וקטור.

ניתן להגדיר את האינטגרל המשטחי רכיב רכיב (של השדה הווקטורי) – לכל רכיב על ידי שימוש בהגדרה של אינטגרל משטחי עבור שדה סקלרי, כאשר התוצאה הסופית תהיה וקטור. משתמשים בדרך זו למשל כאשר רוצים לחשב את השדה החשמלי במדוקה מסוימת במרחב כתוצאה ממשטח טעון חשמלי, או את כוח הכבידה בנקודה במרחב כתוצאה ממשטח של חומר.

לחלופין, אם נבצע אינטרגציה עבור הרכיב הניצב של השדה הווקטורי, נקבל סקלר. כדי להמחיש זאת ניתן לדמיין נוזל שזורם דרך המשטח כך ש־$\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ היא מהירות הזרימה שלו בנקודה $\mathbf {x}$ . השטף מוגדר להיות כמות החומר שעוברת דרך המשטח ליחידת זמן.

דוגמה זו מראה שאם השדה הווקטורי מקביל למשטח בכל נקודה, השטף יהיה אפס, זאת מכיוון שהנוזל יזרום במקביל למשטח ולא יחצה אותו. בנוסף, אם לשדה $\mathbf {v}$ יש גם רכיב מאונך וגם רכיב מקביל ל-$S$ , רק הרכיב המאונך יתרום לשטף. בהתבסס על תובנה זו, על מנת לחשב את השטף העובר דרך המשטח, נאלץ לקחת את המכפלה הסקלרית של השדה $\mathbf {v}$ , עם וקטור יחידה נורמלי למשטח, בכל נקודה, ועל השדה הסקלרי שנקבל נוכל לבצע אינטגרל כי שמתואר בפסקה הקודמת. קיבלנו את המשוואה:

${\begin{aligned}\iint \limits _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {\Sigma } &=\iint \limits _{S}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )d\mathbf {\Sigma } \\&=\iint \limits _{T}\left(\mathbf {v} {\bigl (}\mathbf {x} (s,t){\bigr )}\cdot {\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}{\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|}}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|ds\,dt\\&=\iint \limits _{T}\mathbf {v} {\bigl (}\mathbf {x} (s,t){\bigr )}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right)ds\,dt\end{aligned}}$

המכפלה הווקטורית בביטוי זה היא הנורמל למשטח בהתאם לפרמטריזציה.

הנוסחה הזו מגדירה את האינטגרל המופיע בשורה הראשונה.

משפטים המערבים אינטגרלים משטחיים

תוצאות שימושיות שונות עבור אינטגרלים משטחיים מתקבלות בעזרת שימוש בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה וקטורית, כמו למשל משפט גאוס, וההכללה שלו, משפט סטוקס.

נושאים מתקדמים

נשים לב שהגדרנו את האינטגרל המשטחי בעזרת פרמטריזציה של המשטח. לשמטח נתון עלולות להיות מספר פרמטריזציות שונות. למשל, אם נזיז את המיקום של הקוטב ודרומי והקוטב הצפוני של כדור, קווי האורך והרוחב ישתנו עבור כל הנקודות על הכדור. טבעי לשאול האם אינטגרל משטחי מושפע מבחירה בפרמטריזציה ספציפית. עבור שדה סקלרי התשובה ברורה, מכיוון וערכי השדה לא משתנים כתוצאה משינוי הפרמטריזציה (ולכן התשובה היא לא).

עובר אינטגרל של שדה וקטורי המצב מסובר יותר, מפני שמעורב בכך הנורמל למשטח. ניתן להוכיח שעבור שתי פרמטריזציות שונות של אותו המשטח, שהנורמלים שלהם מצביעים לאותם כיוונים, האינטגרל יתן את אותה התוצאה עבור שתי הפרמטריזציות. אם, לעומת זאת, הנורמלים מצביעים בכיוונים מנוגדים, נקבל שתי תוצאות עם גדלים זהים, אבל עם סימן הפוך (מינוס עבור פרמטריזציה אחת, ופלוס עבור השנייה). נובע מכך, שבהינתן משטח, אנו לא תלויים בפרמטריזציה ספציפית, אלא, יש לקבוע ראשית את הכיוון של הנורמל ואז ניתן לבחור בכל פרמטריזציה הנותנת כיוון זה.

בעיה נוספת היא שלפעמים למשטחים אין פרמטריזציה המכסה אותם בשלמותם, למשל, עבור גליל בעל גובה סופי. הפתרון הפשוט הוא לחלק את המשטח למספר חלקים (שעבור כל אחד מהם קיימת פרמטריזציה שמכסה אותו), לחשב את האינטגרל על כל חלק ואז לחבר את כל התוצאות. גם במקרה זה יש להיזהר כשעובדים עם שדות וקטוריים ולדאוג לכך שכיווני הווקטורים הנורמלים למשטחים יהיו עקביים כאשר מחברים את הכל ביחד. למשל, עבור הגליל, אם החלטנו עבור המעטפת שהווקטור הניצב יצביע החוצה, הנורמל עבור שני הבסיסים העגולים צריך גם כן להצביע החוצה.

לבסוף, ישנם משטחים לבם לא ניתן להגדיר נורמל בכל נקודה בצורה עקבית (למשל, טבעת מביוס). אם נחלק משטח כזה לקטעים ונבחר עבור כל אחד מהם נורמל, נמצא שכאשר נבוא לחבר מחדש את החלקים, כיווני הנורמלים של החלקים השונים לא יהיו עקביים. זה אומר שבתפר מסוים בין שני חלקים נקבל וקטורים נורמליים המצביעים לכיוונים מנוגדים. משטחים כאלה נקראים משטחים לא מכוונים ועבור משטחים כאלו לא ניתן לדבר על אינטגרלים משטחיים.