אומד קטום

בסטטיסטיקה, אומד קטום הוא אומד הנובע מאומד אחר על ידי הוצאת חלק מערכי הקיצון, הנחשבים לחריגים ביחס למדגם, לפני חישוב האומד.

היתרון העיקרי של האומד הקטום על האומד המקורי הוא בהיותו יותר חסין (robust), כלומר הוא פחות רגיש לערכים קיצוניים המתקבלים בתצפיות בודדות.

לאומדים קטומים יש בדרך כלל יעילות גבוהה יותר מאשר לאומדים הרגילים עבור התפלגויות זנביות כמו התפלגות זנב ארוך, אך זאת במחיר של יעילות נמוכה יותר עבור התפלגויות אחרות כמו ההתפלגות הנורמלית.

הגדרה

בהינתן אומד כלשהו (כמו ממוצע, חציון, מקסימום, שונות וכדומה), האומד הקטום %A הוא האומד המתקבל על ידי השמטת %A הערכים הגדולים ביותר ו-%A הערכים הקטנים ביותר במדגם, ואז חישוב האומד עבור המדגם הקטום שהתקבל.

לדוגמה: ממוצע קטום 5% הוא ממוצע של 90% הערכים המרכזיים במדגם, החל מה-5% מלמטה (הערך ש-5% מערכי המדגם קטנים ממנו) ועד ה-95% מלמעלה.

במקרים מסוימים מחליטים להשמיט מספר ערכים קבוע מכל צד, במקום אחוז קבוע.

דוגמאות

חציון

ניתן להסתכל על החציון כעל ממוצע קטום 50% - אם נוריד 50% מהערכים מכל צד נישאר עם ערך אחד בלבד - החציון, והממוצע שלו עם עצמו זה הוא עצמו. מאותה סיבה ניתן להסתכל על החציון כעל מקסימום קטום 50% או כעל מינימום קטום 50%.

כמו כן, חציון קטום %A תמיד שווה לחציון הרגיל, לכל %A, משום שאנו תמיד משמיטים מספר שווה של תצפיות מכל צד.

שברונים

על שברונים ניתן להסתכל כעל מינימום או מקסימום קטומים.

למשל, השברון ה-5% הוא גם מינימום קטום 5%, והשברון ה-80% הוא גם מקסימום קטום 20%.

אומדים קטומים שימושיים

אומדים עבור מדדי מיקום

• ממוצע קטום
• ממוצע מתוקנן - שבו משמיטים את המינימום והמקסימום
• ממוצע בין רבעוני - ממוצע של הטווח הבין-רבעוני. זהו למעשה ממוצע קטום 25%
• אמצע טווח קטום 25% (Midhinge) - אמצע טווח של הטווח הבין-רבעוני

אומדים עבור מדדי פיזור

• טווח בין-רבעוני - זהו טווח קטום 25%
• טווח בין-עשרוני - זהו טווח קטום 10%

שימושים

השימוש הנפוץ ביותר עבור אומדים קטומים הוא לצורך אמידה של אותו פרמטר שנאמד על ידי האומד הלא-קטום. במקרים מסוימים ניתן להשתמש באומד הקטום למטרה זאת באופן ישיר, בעוד במקרים אחרים יש צורך לבצע לו איזושהי התאמה על מנת לקבל אומד עקיב וחסר הטיה.

לדוגמה, כשאומדים מדד מיקום עבור התפלגות סימטרית, האומד הקטום יהיה חסר הטיה. לעומת זאת, כשאומדים מדד מיקום עבור התפלגות שאינה סימטרית, האומד בדרך כלל יהיה מוטה, ותידרש התאמה כלשהי על מנת להפוך אותו לאומד בלתי מוטה. לדוגמה, עבור התפלגות לא סימטרית, הצידוד של ההתפלגות הוא מדד למידת ההטיה של החציון כאומד לממוצע.

כשאומדים מדד פיזור, ומשתמשים באומד קטום בתור אומד חסין על מנת לאמוד למשל את השונות או את סטיית התקן, בדרך כלל יהיה צורך לכפול את האומד הקטום באיזשהו קבוע על מנת לקבל אומד בלתי מוטה. למשל, הכפלת אורך הטווח הבין-רבעוני בקבוע: $2{\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 1.349$ הופכת אותו לאומד בלתי מוטה לסטיית התקן של המדגם, אם הנתונים הגיעו מהתפלגות נורמלית.

כמו כן ניתן להשתמש בהם כאומדים לסטטיסטים שלהם עצמם - החציון של המדגם יכול לשמש אומד חסר הטיה ל"חציון" של האוכלוסייה, הטווח הבין-רבעוני של המדגם יכול לשמש כאומד חסר הטיה ל"טווח הבין-רבעוני" של האוכלוסייה.