אאוג'ניו בלטראמי

אאוג'ניו בלטראמי (16 בנובמבר 1835 - 18 בפברואר 1900) היה מתמטיקאי איטלקי הזכור בשל תרומותיו לגאומטריה דיפרנציאלית, יסודות הגאומטריה הלא-אוקלידית והפיזיקה המתמטית. עבודתו ניכרת בבהירות ההצגה של רעיונותיו. הוא היה הראשון שהוכיח את העקביות של הגאומטריה הלא-אוקלידית באמצעות מידולה על גבי משטח בעל עקמומיות שלילית קבועה, הפסאודוספירה, ובתוך ספירת היחידה, במה שקרוי מודל קליין-בלטראמי. הוא גם פיתח את טכניקת הפירוק לערכים סינגולריים של מטריצות, שנתגלתה מאז מחדש מספר פעמים. השימוש שעשה בחשבון דיפרנציאלי לצורך פתרון בעיות בפיזיקה מתמטית השפיע בעקיפין על פיתוח החשבון הטנזורי.

תרומותיו לגאומטריה לא-אוקלידית

ב-1868 בלטראמי פרסם שני מאמרים שעסקו בעקביות ובפרשנויות לגאומטריה הלא-אוקלידית של בויאי ולובצ'בסקי. במאמרו "חיבור על פרשנות של גאומטריה לא-אוקלידית", בלטראמי הציע שהגאומטריה הזאת ניתנת למימוש על פני משטח בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה, הפסאודוספירה. בהמשגה של בלטראמי, ישרים של הגאומטריה הזאת הם קווים גיאודזיים על הפסאודוספירה ומשפטים בגאומטריה לא-אוקלידית ניתנים להוכחה במסגרת המרחב האוקלידי התלת-ממדי "הרגיל", מבלי לגזור אותן בסגנון אקסיומטי, כפי שבולאי ולובצ'בסקי עשו קודם. ב-1840, פרדיננד מיינדינג בחן משולשים גאודזיים על הפסאודוספירה וציין שהקשרים הטריגונומטריים המתאימים לצלעות ולזוויות של משולשים כאלו ניתנים לגזירה מהנוסחאות הטריגונומטריות של הטריגונומטריה הספירית באמצעות החלפת הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות בפונקציות היפרבוליות; את עבודה זאת המשיך Codazzi ב-1857, אבל לפחות למראית עין אף אחד מהשניים לא הבחין בקשר בין ממצאים אלו לעבודתו של לובצ'בסקי. בהמשך לעבודה זאת של מיינדינג, בלטראמי ניסה להראות שגאומטריה לא-אוקלידית דו-ממדית היא תקפה בדיוק כמו הגאומטריה האוקלידית של המרחב, ובמיוחד, שאקסיומת המקבילים של אוקלידס לא ניתנת לגזירה מהאקסיומות האחרות של הגאומטריה האוקלידית. לעיתים נטען כי הוכחה זאת לא הייתה שלמה עקב נקודות הסינגולריות של הפסאודוספירה, מה שאומר שעקומות גאודזיות לא ניתנות להרחבה ללא סוף. עם זאת, ההיסטוריון John Stillwell ציין שבלטראמי היה מודע היטב לקשיים הללו, שבאים לידי ביטוי גם בעובדה שהפסאודוספירה היא גליל מבחינה טופולוגית (ולכן עקומים עליה אינם כוויצים), ולא מישור, כך שבחלק גדול ממאמרו הוא ניסה לעקוף בעיה זאת. באמצעות בחירה מתאימה של קואורדינטות, בלטראמי הראה איך המטריקה על הפסאודוספירה ניתן להעברה אל דיסק היחידה ושהסינגולריות של הפסאודוספירה מתאימה להורוצייקל על המישור הלא-אוקלידי. מצד שני, במבוא למאמר שלו, בלטראמי טוען שזה בלתי אפשרי להצדיק "את שאר התאוריה של לובצ'בסקי", כלומר את הגאומטריה הלא-אוקלידית של המרחב, בעזרת שיטה זאת.

במאמר שני שפורסם במהלך אותה שנה (1868) - "תאוריה של מרחבים בעלי עקמומיות קבועה", בלטראמי המשיך את הלוגיקה הזאת ונתן הוכחה מופשטת של העקביות של הגאומטריה ההיפרבולית והגאומטריה האוקלידית בכל מספר של ממדים. הוא השיג זאת באמצעות הצגת מספר מודלים של גאומטריה לא-אוקלידית, שכת ידועים בשמם מודל קליין-בלטראמי, מודל הדיסק של פואנקרה ומודל חצי המישור העליון, יחד עם הטרנספורמציות המעבירות מודל אחד למשנהו. במקרה של מודל חצי המישור העליון, בלטראמי ציטט הערה של ז'וזף ליוביל על חיבור של גספאר מונז' על גאומטריה דיפרנציאלית. בלטראמי הראה גם שגאומטריה אוקלידית n-ממדית ניתנת למימוש על פני ההורוספירה של המרחב ההיפרבולי ה-(n + 1) - ממדי, כך שהיחס הלוגי בין העקביות של הגאומטריה האוקלידית והעקביות של הגאומטריה הלא-אוקלידית הוא סימטרי. בלטראמי הכיר בחשיבותה של העבודה המהפכנית של רימן מ-1854 ("על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה") לפיתוח רעיונותיו.

אף על פי שמאמריו אלו של בלטראמי נחשבים כיום כחשובים ביותר להתפתחות הגאומטריה הלא-אוקלידית, הקבלה של רעיונותיו בתקופה בה פורסמו הייתה פחות נלהבת. לואיג'י קרמונה התנגד ללוגיקות מעגליות מסוג זה, מה שאף אילץ את בלטראמי לדחות את הפרסום של מאמריו בשנה אחת. בעקבות קרמונה, פליקס קליין נכשל לזהות את זכות הקדימות של בלטראמי בבניית מודל הדיסק הפרויקטיבי של הגאומטריה הלא-אוקלידית. את תגובות אלו ניתן לייחס לחדשנות של צורת המחשבה של בלטראמי, שהייתה דומה לרעיונות של רימן בנוגע ליריעות אבסטרקטיות.