תכונת החיתוך הסופי

אוסף קבוצות מקיים את תכונת החיתוך הסופי אם לכל תת-אוסף סופי שלו חיתוך לא ריק.

התכונה מתקיימת באופן טריוויאלי כאשר חיתוך כל הקבוצות באוסף אינו ריק, אבל מצב זה אינו הכרחי. למשל, אוסף הקטעים $\ \lbrace \left(0,{\frac {1}{n}}\right)|n\in \mathbb {N} \rbrace$ מקיים את תכונת החיתוך הסופי, בעוד שחיתוך כל הקטעים הוא ריק.

הגדרת קומפקטיות על ידי תכונת החיתוך הסופי

תכונת החיתוך הסופי משמשת להגדרה חלופית לקומפקטיות: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל אוסף של קבוצות סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי, חיתוך לא ריק.

הוכחת שקילות ההגדרות

יהי $\ X$ מרחב טופולוגי. נניח ש-$\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי: יהי $\{F_{i}\}_{i\in I}$ אוסף תת-קבוצות סגורות של $\ X$ המקיים את תכונת החיתוך הסופי, ונניח על דרך השלילה שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}F_{i}$ ריק. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים $\{F_{i}^{c}\}_{i\in I}$ מהווה כיסוי פתוח של $\ X$. מההנחה ש-$\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה נובע שיש לאוסף המשלימים תת-כיסוי סופי $\{F_{i_{j}}^{c}\}_{j=1}^{n}$. לפיכך לתת אוסף הסופי $\{F_{i_{j}}\}_{j=1}^{n}$ חיתוך ריק, בסתירה לתכונת החיתוך הסופי. נובע מכאן שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}F_{i}$ אינו ריק, כלומר $\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי.

בכיוון ההפוך: נניח ש-$\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה: יהי $\{U_{i}\}_{i\in I}$ כיסוי פתוח של $\ X$, ונניח על דרך השלילה שאין לו שום תת-כיסוי סופי. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים $\{U_{i}^{c}\}_{i\in I}$ הוא אוסף תת-קבוצות סגורות של $\ X$ המקיים את תכונת החיתוך הסופי. מההנחה ש-$\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי נובע שהחיתוך $\bigcap _{i\in I}U_{i}^{c}$ אינו ריק, כלומר $\{U_{i}\}_{i\in I}$ אינו כיסוי, וזאת סתירה. נובע מכאן של-$\{U_{i}\}_{i\in I}$ יש תת-כיסוי סופי, כלומר $\ X$ קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה.

מש"ל