תגובה להלם (עיבוד אותות)

בעיבוד אותות, תגובת ההלם של מערכת ליניארית היא מוצא המערכת עבור כניסה של פונקציית הלם. תגובת ההלם של מערכת מאפיינת אותה באופן מלא, וניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה.

הגדרה

מערכת ליניארית כללית מתוארת על ידי:

\ y(t)=O(x(t))

כאשר $\ x(t)$ פונקציית הכניסה למערכת, $\ y(t)$ פונקציית מוצא המערכת ו-O האופרטור הליניארי המגדיר את המערכת ומקשר ביניהן. ברוב המקרים הפונקציות הן של הזמן. כתוצאה מהלינאריות של האופרטור, לכל שתי כניסות $\ x_{1}(t)$ ו- $\ x_{2}(t)$ ולכל שני סקלרים c₁ ו-c₂ מתקיים:

\ O(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t))=c_{1}O(x_{1}(t))+c_{2}O(x_{2}(t))=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)

פונקציית התגובה להלם של מערכת ליניארית היא יציאת המערכת עבור כניסה בצורת פונקציית דלתא של דיראק, הנקראת גם פונקציית הלם:

h(t_{1},t_{2})\equiv y(t)|_{t=t_{2}}=O(\delta (t-t_{1}))_{t=t_{2}}

אחת התכונות של פונקציית דלתא של דיראק היא שניתן לכתוב פונקציה כללית בצורה הבאה:

x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t_{1})\delta (t-t_{1})dt_{1}\,

תוך שימוש בתכונת הליניאריות של האופרטור, מוצא המערכת עבור הכניסה הכללית הוא:

y(t)=O(x(t))=O(\int _{-\infty }^{\infty }x(t_{1})\delta (t-t_{1})dt_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }x(t_{1})O(\delta (t-t_{1}))dt_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t_{1})h(t,t_{1})dt_{1}

התגובה להלם היא למעשה פונקציית גרין של המשוואה המגדירה אותה, והשוויון לעיל הוא משפט גרין. התוצאה היא שתגובת ההלם של מערכת מאפיינת אותה באופן מלא, וניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה שהיא. בעיבוד אותות, מערכת מוגדרת על ידי תגובת ההלם שלה ולא על ידי אופרטור.

מערכות LTI

ערך מורחב – מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן

מערכת ליניארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת ליניארית שבה גם מתקיים:

\ y(t+\tau )=O(x(t+\tau ))

לכל $\ \tau$ . במערכת כזו התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, תגובת ההלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין תגובת ההלם לכניסה:

y(t)=x(t)*h(t)=\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau

תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב. לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:

\ Y(s)=H(s)X(s)

כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר פעולת הקונבולוציה. הפונקציה $\ H(s)$ נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית. דוגמה למערכת כזו היא מערכת המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מהצורה:

{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{1}{\frac {dy}{dt}}+A_{0}y(t)=B_{m}{\frac {d^{m}x}{dt^{m}}}+B_{m-1}{\frac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}}+\cdots +B_{1}{\frac {dx}{dt}}+B_{0}x(t)

כאשר המקדמים $A_{1}...A_{n},B_{0}...B_{m}$ הם קבועים שאינם תלוים בזמן. לאחר לקיחת התמרת לפלס לשני אגפי המשוואה מתקבלת פונקציית תמסורת שהיא פונקציה רציונלית - מנה של שני פולינומים:

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {B_{m}s^{m}+B_{m-1}s^{m-1}+...+B_{1}s+B_{0}}{s^{n}+A_{n-1}s^{n-1}+...+A_{1}s+A_{0}}}

תגובת ההלם, שהיא התמרת לפלס הפוכה של פונקציה זו, היא סכום של פונקציות מעריכיות (שיכולות להיות גם אקספוננטים מרוכבים) שכל אחת מהן היא התמרת לפלס של שבר חלקי בפירוק לשברים חלקיים של פונקציית התמסורת. במידה וקיימת לתגובת ההלם התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של תגובת ההלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת $\ H(\omega )$ . לחלופין, היא ניתנת לחישוב על ידי הצבת $s=i\omega$ בפונקציית התמסורת ותגובת ההלם תתקבל על ידי התמרת פורייה הפוכה.