שיטת מולר
בערך זה |
שיטת מולר היא אלגוריתם למציאת שורשים של פונקציה, כלומר שיטה נומרית לפתרון משוואות מהצורה f(x) = 0. השיטה הוצגה לראשונה על ידי דייוויד א. מולר (אנ') בשנת 1956[1].
שיטתו של מולר מבוססת על שיטת המיתר, הבונה בכל איטרציה קו ישר דרך שתי נקודות בגרף של . במקום זאת, שיטת מולר משתמשת בשלוש נקודות, בונה פרבולה דרך אותן שלוש הנקודות, ולוקחת את נקודת המפגש של ציר ה-x עם הפרבולה להיות הנקודה הבאה.
נוסחת נסיגה
שיטת מולר היא שיטה רקורסיבית המייצרת קירוב לשורש של בכל איטרציה. מתחילים משלושת הערכים הראשוניים ו-, האיטרציה הראשונה מחשבת את הקירוב הראשון , האיטרציה השנייה מחשבת את הקירוב השני , האיטרציה השלישית מחשבת את הקירוב השלישי וכן הלאה. כל איטרציה לוקחת כקלט את שלושת הקירובים האחרונים שנוצרו ואת הערך של בקירובים אלה. מכאן שאיתור הנקודה ה- לוקח כקלט את הערכים x k-1, x k-2 ו- x k-3 ואת ערכי הפונקציה f(xk-1), f(xk-2) ו- f(xk-3)). הקירוב x k מחושב כדלקמן:
נבנית פרבולה y k ( x ) העוברת בין שלוש הנקודות ( xk-1, f(xk-1)), ( x k-2, f ( x k-2 )) ו- ( x k-3, f ( x k-3 )). נכתבים בפולינום של ניוטון, y k (x) הוא
- .
![{\displaystyle y_{k}(x)=f(x_{k-1})+(x-x_{k-1})f[x_{k-1},x_{k-2}]+(x-x_{k-1})(x-x_{k-2})f[x_{k-1},x_{k-2},x_{k-3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68254df65103fabcae732e98cd82247a06c63d91)
או
![{\displaystyle y_{k}(x)=f(x_{k-1})+w(x-x_{k-1})+f[x_{k-1},x_{k-2},x_{k-3}]\,(x-x_{k-1})^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91020ad243a430cea8adf2006a934ceba38a25b)
כאשר
- .
![{\displaystyle w=f[x_{k-1},x_{k-2}]+f[x_{k-1},x_{k-3}]-f[x_{k-2},x_{k-3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1270cd3b7a6e506b8c2f380ed88a1d223c6db18)
האיטרציה הבאה, היא איטרציה קרובה יותר מ- של המשוואה הריבועית y k ( x ) = 0. זה מניב את נוסחת הנסיגה
- .
![{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}-{\frac {2f(x_{k-1})}{w\pm {\sqrt {w^{2}-4f(x_{k-1})f[x_{k-1},x_{k-2},x_{k-3}]}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0417353767ae4cc7baed4558a91567eeaced636)
בנוסחה זו, יש לבחור בסימן (+\-) כך שהמכנה יהיה גדול ככל האפשר. במקרה של שיטת מולר, לא משתמשים בנוסחה הסטנדרטית לפתרון משוואות ריבועיות כיוון שזה עשוי לגרום לתוצאה להיות חסרת משמעות.
שימו לב ש- יכול להיות מספר מרוכב, גם אם האיטרציות הקודמות היו מספרים ממשיים. זאת בניגוד לאלגוריתמים אחרים של מציאת שורשים כמו שיטת המיתר או שיטת ניוטון-רפסון, שהאיטרציות שלהם יישארו מספרים ממשיים אם נתחיל במספרים ממשיים. קיום איטרציות מרוכבות יכול להיות יתרון (אם מחפשים שורשים מרוכבים) או חסרון (אם ידוע שכל השורשים הם ממשיים), תלוי במשוואה.
מהירות ההתכנסות
סדר ההתכנסות של שיטת מולר הוא בערך 1.84, מול 1.62 לשיטת המיתר ו-2 עבור שיטת ניוטון-רפסון. לכן, שיטת המיתר מתכנסת פחות מהר בכל איטרציה יחסית לשיטת מולר ושיטת ניוטון-רפסון מתכנסת יותר מהר, ביחס לשיטת מולר.
הערות שוליים
