שיטת מולר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שיטת מולר היא אלגוריתם למציאת שורשים של פונקציה, כלומר שיטה נומרית לפתרון משוואות מהצורה f(x) = 0. השיטה הוצגה לראשונה על ידי דייוויד א. מולר בשנת 1956.

שיטתו של מולר מבוססת על שיטת המיתר, הבונה בכל איטרציה קו ישר דרך שתי נקודות בגרף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . במקום זאת, שיטת מולר משתמשת בשלוש נקודות, בונה פרבולה דרך אותן שלוש הנקודות, ולוקחת את נקודת המפגש של ציר ה-x עם הפרבולה להיות הנקודה הבאה.

נוסחת נסיגה

שיטת מולר היא שיטה רקורסיבית המייצרת קירוב לשורש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בכל איטרציה. מתחילים משלושת הערכים הראשוניים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,x_0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} , האיטרציה הראשונה מחשבת את הקירוב הראשון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} , האיטרציה השנייה מחשבת את הקירוב השני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} , האיטרציה השלישית מחשבת את הקירוב השלישי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_3} וכן הלאה. כל איטרציה לוקחת כקלט את שלושת הקירובים האחרונים שנוצרו ואת הערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בקירובים אלה. מכאן שאיתור הנקודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} לוקח כקלט את הערכים x _k-1, x _k-2 ו- x _k-3 ואת ערכי הפונקציה f(x_k-1), f(x_k-2) ו- f(x_k-3)). הקירוב x _k מחושב כדלקמן:

נבנית פרבולה y _k ( x ) העוברת בין שלוש הנקודות ( x_k-1,   f(x_k-1)), ( x _k-2,   f ( x _k-2 )) ו- ( x _k-3,   f ( x _k-3 )). נכתבים בפולינום של ניוטון, y _k (x) הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_k(x) = f(x_{k-1}) + (x-x_{k-1}) f[x_{k-1}, x_{k-2}] + (x-x_{k-1}) (x-x_{k-2}) f[x_{k-1}, x_{k-2}, x_{k-3}] } .

או

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_k(x) = f(x_{k-1}) + w(x-x_{k-1}) + f[x_{k-1}, x_{k-2}, x_{k-3}] \, (x-x_{k-1})^2 \, }

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = f[x_{k-1},x_{k-2}] + f[x_{k-1},x_{k-3}] - f[x_{k-2},x_{k-3}] } .

האיטרציה הבאה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k} היא איטרציה קרובה יותר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{k-1}} של המשוואה הריבועית y _k ( x ) = 0. זה מניב את נוסחת הנסיגה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{k} = x_{k-1} - \frac{2f(x_{k-1})}{w \pm \sqrt{w^2 - 4f(x_{k-1})f[x_{k-1}, x_{k-2}, x_{k-3}]}} } .

בנוסחה זו, יש לבחור בסימן (+\-) כך שהמכנה יהיה גדול ככל האפשר. במקרה של שיטת מולר, לא משתמשים בנוסחה הסטנדרטית לפתרון משוואות ריבועיות כיוון שזה עשוי לגרום לתוצאה להיות חסרת משמעות.

שימו לב ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k} יכול להיות מספר מרוכב, גם אם האיטרציות הקודמות היו מספרים ממשיים. זאת בניגוד לאלגוריתמים אחרים של מציאת שורשים כמו שיטת המיתר או שיטת ניוטון-רפסון, שהאיטרציות שלהם יישארו מספרים ממשיים אם נתחיל במספרים ממשיים. קיום איטרציות מרוכבות יכול להיות יתרון (אם מחפשים שורשים מרוכבים) או חסרון (אם ידוע שכל השורשים הם ממשיים), תלוי במשוואה.

מהירות ההתכנסות

סדר ההתכנסות של שיטת מולר הוא בערך 1.84, מול 1.62 לשיטת המיתר ו-2 עבור שיטת ניוטון-רפסון. לכן, שיטת המיתר מתכנסת פחות מהר בכל איטרציה יחסית לשיטת מולר ושיטת ניוטון-רפסון מתכנסת יותר מהר, ביחס לשיטת מולר.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] שיטת מולר31175570