שיטת בורדה

שיטת בורדה (borda's method) היא שיטת בחירות שבה נבחר המועמד שסך מספר המועמדים המדורגים תחתיו מכל אחד מהבוחרים - הוא הגבוה ביותר.

הגדרה

תהי ${\begin{aligned}A=\{1,2,...,i,...,m\}\end{aligned}}$ קבוצה סופית של מועמדים (או אפשרויות) ו- ${\begin{aligned}N=\{1,2,...,j,...,n\}\end{aligned}}$ קבוצה סופית של בוחרים.

נניח שכל בוחר מדרג את המועמדים מהמועדף יותר למועדף פחות, והוא אינו אדיש בין מועמדים (כלומר יש לו יחס העדפות חזק על ${\begin{aligned}A\end{aligned}}$ ).

מועמד ${\begin{aligned}i\end{aligned}}$ מקבל ${\begin{aligned}k\end{aligned}}$ נקודות מבוחר ${\begin{aligned}j\end{aligned}}$ , אם בוחר זה דירג ${\begin{aligned}k\end{aligned}}$ מועמדים מתחת למועמד ${\begin{aligned}i\end{aligned}}$ . נקודות אלו נקראות גם נקודות בורדה.

(במילים אחרות: מספר הנקודות שמועמד כלשהו מקבל מבוחר מסוים, שווה למספר המועמדים שאותו בוחר דירג אחריו)

דירוג בורדה (borda count) של מועמד הוא סך הנקודות שהוא צבר מכל הבוחרים. המועמד הנבחר על פי שיטת בורדה (נקרא גם: מנצח בורדה) הוא המועמד שדירוג בורדה שלו הוא הגבוה ביותר.

הגדרה נוספת

דירוג בורדה של מועמד ניתן להגדרה גם באופן הבא:

לכל זוג מועמדים ${\begin{aligned}s\end{aligned}}$ ו- ${\begin{aligned}t\end{aligned}}$ , נסמן ב- ${\begin{aligned}N_{s,t}\end{aligned}}$ את מספר הבוחרים המדרגים את ${\begin{aligned}s\end{aligned}}$ לפני ${\begin{aligned}t\end{aligned}}$ . דירוג בורדה של מועמד ${\begin{aligned}s\end{aligned}}$ שווה ל- $\sum _{t\neq s}N_{s,t}$ .

נראה שהגדרה זו שקולה להגדרה הקודמת:

יהי $\ a_{s,t,k}$ שווה ל-1 אם בוחר ${\begin{aligned}k\end{aligned}}$ מדרג את ${\begin{aligned}s\end{aligned}}$ לפני ${\begin{aligned}t\end{aligned}}$ , ושווה ל-0 אחרת. ברור ש- $\ N_{s,t}=\sum _{k}a_{s,t,k}$ ולכן $\sum _{t\neq s}N_{s,t}=\sum _{t\neq s}\sum _{k}a_{s,t,k}$ .

לפי ההגדרה הראשונה, דירוג בורדה של מועמד הוא סכום מספר המועמדים שדורגו תחתיו על ידי כל בוחר, כלומר $\sum _{k}\sum _{t\neq s}a_{s,t,k}$ . בהחלפת סדר הסכימה יתקבלו ביטויים זהים ולכן ההגדרות שקולות.

היסטוריה ושימושים

שיטת בורדה הוצעה לראשונה במאה ה-13 על ידי המדען והפילוסוף רמון ליול, אולם היא נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-18 ז'אן-שארל דה בורדה שהגה אותה בשנת 1770.

בבחירות לפרלמנט של נאורו ולבית המחוקקים הלאומי של סלובניה משתמשים בשיטת בורדה, וניתן לומר שגם המנצח בתחרות האירוויזיון נקבע על פי סוג של שיטת בורדה.

במונחים של תורת המשחקים, שיטת בורדה היא סוג של פונקציית בחירה חברתית, כלומר פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים ומחזירה את המועמד הנבחר.

שיטת בורדה מקיימת את תכונת המונוטוניות והפה אחד, אולם היא אינה מקיימת את תכונת האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות.

דוגמה

תהי ${\begin{aligned}N\end{aligned}}$ קבוצה של 21 בוחרים, ויהיו ${\begin{aligned}A\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}B\end{aligned}}$ ו- ${\begin{aligned}C\end{aligned}}$ שלושה מועמדים.

נניח שהבוחרים דירגו את המועמדים באופן הבא:

מספר הבוחרים	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
1	${\begin{aligned}A\end{aligned}}$	${\begin{aligned}B\end{aligned}}$	${\begin{aligned}C\end{aligned}}$
7	${\begin{aligned}A\end{aligned}}$	${\begin{aligned}C\end{aligned}}$	${\begin{aligned}B\end{aligned}}$
7	${\begin{aligned}B\end{aligned}}$	${\begin{aligned}C\end{aligned}}$	${\begin{aligned}A\end{aligned}}$
6	${\begin{aligned}C\end{aligned}}$	${\begin{aligned}B\end{aligned}}$	${\begin{aligned}A\end{aligned}}$

נחשב את דירוג בורדה של כל אחד מהמועמדים :

עבור מועמד ${\begin{aligned}A\end{aligned}}$ : יש שמונה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה ושלושה עשר בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות בורדה. לכן, ${\begin{aligned}A\end{aligned}}$ מקבל בסך הכל 16 נקודות בורדה.

עבור מועמד ${\begin{aligned}B\end{aligned}}$ : יש שבעה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה, שבעה בוחרים שמעניקים לו נקודת בורדה אחת ושבעה בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות בורדה. לכן, ${\begin{aligned}B\end{aligned}}$ מקבל בסך הכל 21 נקודות בורדה.

עבור מועמד ${\begin{aligned}C\end{aligned}}$ : יש שישה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה, ארבעה עשר בוחרים שמעניקים לו נקודת בורדה אחת ובוחר אחד שמעניק לו 0 נקודות בורדה. לכן, ${\begin{aligned}C\end{aligned}}$ מקבל בסך הכל 26 נקודות בורדה.

כיוון שדירוג בורדה של מועמד ${\begin{aligned}C\end{aligned}}$ גדול ממש מדירוג בורדה של שני המועמדים האחרים, ${\begin{aligned}C\end{aligned}}$ הוא מנצח בורדה במקרה זה.