פונקציית בחירה חברתית

פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים היא פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית ומוציאה את המועמד הנבחר. במקרים רבים החברה אינה צריכה לדרג את כל האפשרויות לפי סדר, אלא לבחור באפשרות אחת. לאפשרות זו נקרא מעתה האפשרות העדיפה על החברה כולה. זה המצב, למשל, בבחירות לנשיאות, לנציג לקונגרס או לראשות ועד, או בחירת המהלך המדיני או הכלכלי "הטוב ביותר" (לדעת קבוצת המחליטים). השאלה היא האם ניתן להתאים לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, האפשרות העדיפה על החברה כולה, כך שמצד אחד שיטת הבחירה תקיים תכונות רצויות, ומצד שני לא תהיה דיקטטורית.

הגדרה כללית

פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים, היא פונקציה שמטרתה לבחור את המועמד המועדף על כלל הבוחרים מבין האפשרויות הנתונות.
פונקציית בחירה חברתית מתאימה לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, שתיקרא "האפשרות העדיפה" על החברה. בפרט, על פי הגדרה זו אין אפשרות שהחברה תבחר בשתי אפשרויות שונות כעדיפות. דוגמאות לפונקציה שכזו ניתן לראות למשל בבחירות לראשות הממשלה, בבחירות לנציגות גוף מסוים, בסקר על אבקת כביסה יעילה ביותר וכדומה.

הגדרה פורמלית

תהי $A$ קבוצת האפשרויות, או המועמדים לבחירה, ותהי $N=\{1,2,\cdots ,n\}$ קבוצת הבוחרים. יחס העדפות על קבוצת האפשרויות $A$ הוא יחס סדר חזק. את קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על $A$ מסמנים ב $P\left(A\right)$,
והעדפה חזקה של $a$ על $b$ לפי יחס הסדר $P_{i}$ מסמנים ב$a>_{P_{i}}b$.

לכל בוחר $i$ יש יחס העדפות $P_{i}$ על קבוצת האפשרויות $A$. רשימת יחסי ההעדפות החזקות של כל הבוחרים נקראת בשם פרופיל העדפות חזקות, והיא תסומן ב$P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}$.
פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה $\,F:P(A)^{n}\rightarrow A$, המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות חזקים $P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}\in P\left(A\right)^{n}$
מועמד $A$. נאמר שהמועמד $F(P)$ הוא המועמד המועדף על החברה, כאשר יחסי ההעדפות של הבוחרים ניתנים על ידי פרופיל ההעדפות $P$.

תכונות

ישנן מספר תכונות שניתן לדרוש אותן או לחלופין להימנע מהן עבור פונקציית הבחירה החברתית:

• מונוטוניות:

דרישה סבירה מפונקציית בחירה חברתית היא מונוטוניות : אם עבור פרופיל העדפות חזקות מסוים נבחרת האפשרות a, אזי בכל פרופיל העדפות חזקות אחר שבו השתפר מיקומו של a, או לפחות לא הורע אצל כל הפרטים, נבחרת גם כן האפשרות a.

פונקציית בחירה חברתית $F$ נקראת מונוטונית אם לכל שני פרופילי העדפות חזקות $P_{2}$, $P_{1}$ המקיימים: לכל בוחר $i$, ולכל $a\in A$ אם לכל $b$ שונה מ $a$ מתקיים

$a>_{P_{1}}b$ $\Leftarrow$ $a>_{P_{2}}b$,

ואם $F\left(P_{1}\right)=a$, אזי גם $F\left(P_{2}\right)=a$.

נשים לב שבתכונת המונוטוניות חבוי גם מרכיב של אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות, משום שבהחלט ייתכן שהמעמד של אפשרויות אחרות, שונות מ a, בשני הפרופילים השתנה, אך הדבר אינו משפיע על כך ש a נבחר.

• דיקטטורה: פונקציית בחירה חברתית $F$ נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר $i$ כך שלכל פרופיל העדפות חזקות $P$ מתקיים ש $F\left(P\right)$ היא האפשרות המועדפת ביותר על $i$.

במקרה זה $i$ יקרא דיקטטור. פונקציית הבחירה הדיקטטורית הינה מונוטונית.

• פה אחד:

כמו במקרה של פונקציית רווחה חברתית, תנאי סביר לדרוש מפונקציית בחירה חברתית הוא, שאם כל הפרטים בחברה מעדיפים את אפשרות a על פני כל שאר האפשרויות, גם החברה כולה תעדיף את a.

פונקציית בחירה חברתית $F$ נקראת פה אחד אם לכל פרופיל העדפות חזקות $P$ ולכל אפשרות $a\in A$ מתקיים שאם לכל אפשרות $b$ שונה מ $a$ ולכל בוחר $i\in N$ מתקיים $a>_{P_{i}}b$, אזי $F\left(P\right)=a$.

משפט גיבארד-סתרסוויט

אם מספר המועמדים גדול מ- או שווה ל-3, כל פונקציית בחירה חברתית המקיימת את תכונות המונוטוניות והפה אחד היא דיקטטורית.

ראו גם

• מניפולציה (תורת המשחקים)

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946