כלל המקבילית

כלל המקבילית הוא משפט בגאומטריה אוקלידית, הקובע כי סכום ריבועי ארבע צלעות המקבילית שווה לסכום ריבועי האלכסונים. במקרה שהמקבילית היא מלבן, האלכסונים שווים ומתקבל משפט פיתגורס. כלל המקבילית חל בכל מרחב מכפלה פנימית, ואף מאפיין את מרחבי המכפלה הפנימית בין כל המרחבים הנורמיים.

ניסוח וקטורי של כלל המקבילית

כלל המקבילית

במישור האוקלידי, בהינתן שני וקטורים $a,b\neq 0$ ניתן ליצור מקבילית שקודקודיה הם 0, ונקודות הקצה של הווקטורים $a,b,a+b$ (ראו איור משמאל). אלכסוניהּ של המקבילית הם הווקטורים $a+b,a-b$ . כלל המקבילית קובע כי $2\left(|a|^{2}+|b|^{2}\right)=|a+b|^{2}+|a-b|^{2}$ .

הכללה למרחבי מכפלה פנימית

בכל מרחב מכפלה פנימית $V$ , לכל זוג וקטורים $z,z'$ מתקיים השוויון:

$$\|z+z'\|^{2}+\|z-z'\|^{2}=2\left(\|z\|^{2}+\|z'\|^{2}\right)$$

כאשר

$$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$$

הכלל נובע מכך שהמכפלה הפנימית היא בילינארית.

כלל המקבילית ומרחבים נורמים

כלל המקבילית מנוסח במונחי הנורמה המושרית במרחב מכפלה פנימית, ולכן אפשר לתהות באלו מרחבים נורמים הוא חל. מתברר שאם מרחב נורמי מקיים את כלל המקבילית, אז הנורמה שלו מושרית על ידי מכפלה פנימית.

להלן דוגמה למרחב נורמי שאינו מקיים את כלל המקבילית (ולכן אינו יכול להיות מושרה על ידי מכפלה פנימית). נסמן ב-$L^{\infty }(0,1)$ את מרחב הפונקציות הממשיות החסומות על הקטע $[0,1]$ , עם הנורמת הסופרמום, $\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|$ . בדרך זו הופך $L^{\infty }(0,1)$ למרחב נורמי, ואף למרחב בנך. לפונקציות $f(x)=x,g(x)=1-x$ יש נורמה 1, ולכן $2\left(\|f\|^{2}+\|g\|^{2}\right)=2(1^{2}+1^{2})=4$ , בעוד ש-$\|f+g\|^{2}+\|f-g\|^{2}=1^{2}+1^{2}=2$ . כלל המקבילית אינו מתקיים, ולכן $L^{\infty }(0,1)$ אינו מרחב מכפלה פנימית.

כלל המקבילית במרחבים מטריים כלליים

במרחב מטרי אין משמעות לחיבור או חיסור של נקודות, ובכל זאת אפשר לשמר גרסה מסוימת של כלל המקבילית. כדי לעשות זאת כראוי, נבחין שאת כלל המקבילית במרחב נורמי אפשר לנסח גם כך:

$4\left\|{\frac {z+z'}{2}}\right\|^{2}+\|z-z'\|^{2}=2\left(\|z\|^{2}+\|z'\|^{2}\right)$

כלומר, אם $o$ היא נקודת האפס ו-$x$ היא נקודת האמצע בין $z$ ל-$'z$ , אז

$d(z,z')^{2}+4d(o,x)^{2}=2d(o,z)^{2}+2d(o,z')^{2}$

כאשר $d$ היא פונקציית המרחק המושרית על ידי הנורמה, $d(x,y)=\|x-y\|$ . מסיבה זו, אומרים שמרחב מטרי $(X,d)$ מקיים את כלל המקבילית-למחצה אם לכל שתי נקודות $z,z'\in X$ קיימת נקודה $x$ , כך שלכל נקודה $o$ מתקיים

$d(z,z')^{2}+4d(o,x)^{2}\leq 2d(o,z)^{2}+2d(o,z')^{2}$

במקרה זה, לכל $z,z'$ הנקודה $x$ היא נקודת האמצע ($d(z,x)=d(x,z')$) היחידה בין הנקודות $z,z'$ . מרחב מטרי שלם המקיים את כלל המקבילית-למחצה נקרא מרחב ברוה-טיץ. התכונה היסודית של מרחבים כאלה היא שכל קבוצה חסומה $S$ מוכלת בכדור יחיד בעל רדיוס מינימלי; מרכז הכדור הזה הוא "מרכז המעגל החוסם" של $S$ . מכאן נובע משפט נקודת השבת של ברוה-טיץ: אם לחבורת איזומטריות של מרחב ברוה-טיץ יש מסלול חסום, אז יש לה נקודת שבת.