משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

|G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]

כאשר $Z(G)$ הוא המרכז של G, $C(g)$ הוא המְרַכֵּז של $g$ (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב- $Z(G)$ .

$[G:C(g)]$ הוא האינדקס של $C(g)$ ב- $G$ והוא שווה ל- $[G:C(g)]=|G|/|C(g)|$ .

רקע

שני איברים $g,h\in G$ נקראים איברים צמודים אם קיים $x\in G$ כך ש- $g=xhx^{-1}$ . צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את $G$ למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל- $g$ כ- $A_{g}$ .

המרכז של $G$ מוגדר $Z(G)=\{g\in G:\forall x\in G,xg=gx\}$ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר $g\in G$ מוגדר $C(g)=\{x\in G:xg=gx\}$ (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g).^[1] למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש- $C(g)$ היא תת-חבורה של $G$ .

הוכחה

תהי $G$ חבורה סופית ויהי $g\in G$ . נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

xgx^{-1}=ygy^{-1}\iff (y^{-1}x)g=g(y^{-1}x)\iff y^{-1}x\in C(g)\iff x\in yC(g)\iff xC(g)=yC(g)

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש- $xgx^{-1}$ ו- $ygy^{-1}$ שונים אם ורק אם $x$ ו- $y$ שייכים לקוסטים שמאליים שונים של $C(g)$ . לכן מתקיים:

|A_{g}|=[G:C(g)]

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

|G|=\sum _{g}|A_{g}|

כש- $g$ עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את $I$ כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי $Z(G)$ . לכל $g\in Z(G)$ ולכל $x\in G$ מתקיים $g=xx^{-1}g=xgx^{-1}$ ולכן $|A_{g}|=1$ (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

|G|=\sum _{g\in Z(G)}{1}+\sum _{g\in I}{|A_{i}|}=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]

מסקנות

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי $G$ חבורה מסדר $p^{n}$ . אם $G$ אבלית $Z(G)=G$ אינו טריוויאלי. נניח ש- $G$ אינה אבלית. יהי $g\in I$ , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים $|C(g)|=p^{k}$ . בהכרח $k<n$ , אחרת $C(g)=G$ בסתירה לכך ש- $g\not \in Z(G)$ . לכן: $p|p^{n-k}=[G:C(g)]$ . לפי משוואת המחלקות: