רזולטנט

באלגברה, רֶזוּלטַנט הוא שמו של מדד מספרי המחושב משני פולינומים נתונים, ומתאר את הקשר בין השורשים שלהם, בדרך המכלילה את הדיסקרימיננטה.

יהיו $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{0}$ ו- $g(x)=b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ שני פולינומים מעל שדה F. הרזולטנט שלהם מוגדר כדטרמיננטה של המטריצה $(n+m)\times (n+m)$ ש-m שורותיה הראשונות הן ההזזות של הווקטור $(a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0})$ , ו-n שורותיה האחרונות הן הזזות של הווקטור $(b_{m},b_{m-1},\dots ,b_{0})$ (עם אפסים בכל מקום אחר).

נניח שהמקדם המוביל של f אינו אפס. לפולינומים f,g יש גורם משותף אם ורק אם הפולינומים $f,xf,\dots ,x^{m-1}f,g,xg,\dots ,x^{n-1}g$ תלויים ליניארית. מכאן נובע שיש שורש משותף (בשדה פיצול משותף לשני הפולינומים) אם ורק אם הרזולטנט של f,g הוא אפס. למעשה,

\operatorname {Res} (f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})=a_{n}^{m}\prod _{i}g(x_{i})=b_{m}^{n}\prod _{j}f(y_{j})

,

כאשר $x_{1},\dots ,x_{n}$ הם השורשים של f, ו- $y_{1},\dots ,y_{m}$ הם השורשים של g.

מחוק קרמר נובע שהרזולטנט של פולינומים מעל שדה שייך לאידיאל שהם יוצרים בחוג הפולינומים מעל השדה. אם מקדמי הפולינומים שייכים לתחום שלמות D, גם הרזולטנט הוא איבר באותו תחום שלמות. תכונה זו מאפשרת לרזולטנט לטפל גם בפולינומים בכמה משתנים.

הדיסקרימיננטה של פולינום מתקבלת מן הנוסחה $\operatorname {Res} (f,f')=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}\Delta (f)$ .

ברזולטנט אפשר להשתמש כדי לפתור את בעיית הפירוש (Implicitization) של עקום פרמטרי מישורי: נתון העקום $\ x_{1}=f_{1}(t),\ x_{2}=f_{2}(t)$ , כאשר $f_{1},\,f_{2}$ פולינומים. מהי המשוואה הפולינומית שאותה מקיימים $\ (x_{1},x_{2})$ ? התשובה היא הרזולטנט של $\ x_{1}-f_{1}(t),x_{2}-f_{2}(t)$ ביחס למשתנה t (אותו פתרון נכון גם כאשר $\ f_{1},f_{2}$ פונקציות רציונליות, על ידי כפל במכנה המשותף). כאשר מדובר בעקום במרחב רב-ממדי, היחסים האלגבריים בין ה- $\ x_{i}$ מתקבלים מניפוי t באידיאל $\ \langle x_{1}-f_{1}(t),\dots ,x_{n}-f_{n}(t)\rangle$ באמצעות בסיס גרובנר.