רזולטנט

באלגברה, רֶזוּלטַנט הוא שמו של מדד מספרי המחושב משני פולינומים נתונים, ומתאר את הקשר בין השורשים שלהם, בדרך המכלילה את הדיסקרימיננטה.

יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = a_n x^n + \dots + a_0} ו- $g(x)=b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ שני פולינומים מעל שדה F. הרזולטנט שלהם מוגדר כדטרמיננטה של המטריצה $(n+m)\times (n+m)$ ש-m שורותיה הראשונות הן ההזזות של הווקטור הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0})} , ו-n שורותיה האחרונות הן הזזות של הווקטור $(b_{m},b_{m-1},\dots ,b_{0})$ (עם אפסים בכל מקום אחר).

נניח שהמקדם המוביל של f אינו אפס. לפולינומים f,g יש גורם משותף אם ורק אם הפולינומים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f,xf,\dots ,x^{m-1}f,g,xg,\dots ,x^{n-1}g} תלויים ליניארית. מכאן נובע שיש שורש משותף (בשדה פיצול משותף לשני הפולינומים) אם ורק אם הרזולטנט של f,g הוא אפס. למעשה,

\operatorname {Res} (f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})=a_{n}^{m}\prod _{i}g(x_{i})=b_{m}^{n}\prod _{j}f(y_{j})

,

כאשר $x_{1},\dots ,x_{n}$ הם השורשים של f, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1,\dots,y_m} הם השורשים של g.

מחוק קרמר נובע שהרזולטנט של פולינומים מעל שדה שייך לאידיאל שהם יוצרים בחוג הפולינומים מעל השדה. אם מקדמי הפולינומים שייכים לתחום שלמות D, גם הרזולטנט הוא איבר באותו תחום שלמות. תכונה זו מאפשרת לרזולטנט לטפל גם בפולינומים בכמה משתנים.

הדיסקרימיננטה של פולינום מתקבלת מן הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Res}(f,f') = (-1)^{n(n-1)/2} a_n \Delta(f)} .

ברזולטנט אפשר להשתמש כדי לפתור את בעיית הפירוש (Implicitization) של עקום פרמטרי מישורי: נתון העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1 = f_1(t),\ x_2 = f_2(t)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1,\,f_2} פולינומים. מהי המשוואה הפולינומית שאותה מקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_1,x_2)} ? התשובה היא הרזולטנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1 - f_1(t), x_2-f_2(t)} ביחס למשתנה t (אותו פתרון נכון גם כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_1,f_2} פונקציות רציונליות, על ידי כפל במכנה המשותף). כאשר מדובר בעקום במרחב רב-ממדי, היחסים האלגבריים בין ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_i} מתקבלים מניפוי t באידיאל $\ \langle x_{1}-f_{1}(t),\dots ,x_{n}-f_{n}(t)\rangle$ באמצעות בסיס גרובנר.