נוסחת קרמר

באלגברה ליניארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות ליניאריות בעזרת דטרמיננטות. היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, שכן מספר הצעדים שצריך לעשות בחישוב הדטרמיננטות הרלוונטיות גדול מזה הדרוש בתהליך החילוץ של גאוס, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד-משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאיבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ-0.

נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה ליניארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A x=b} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} היא מטריצה ריבועית, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b} הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם $\ \det A\neq 0$.

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} של וקטור הפתרון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_k=\frac{\det A_k}{\det A}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_k} היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} שבמטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} בווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b} .

דוגמה

נתונה מערכת המשוואות

${\begin{aligned}{\begin{cases}\ x\ +2y+3z=2\\4x+5y+6z=2\\7x+8y+8z=4\end{cases}}\end{aligned}}$

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}} , והווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=\begin{pmatrix} {\color{red}2} \\ {\color{red}2}\\ {\color{red}4} \end{pmatrix} } .

נחשב את הדטרמיננטות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}=3 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A_1=\det\begin{pmatrix}{\color{red}2} & 2 & 3 \\ {\color{red}2} & 5 & 6 \\ {\color{red}4} & 8 & 8 \end{pmatrix}=-12}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A_2 =\det\begin{pmatrix}1 & {\color{red}2} & 3 \\ 4 & {\color{red}2} & 6 \\ 7 & {\color{red}4} & 8 \end{pmatrix}=18 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A_3 =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & {\color{red}2} \\ 4 & 5 & {\color{red}2} \\ 7 & 8 & {\color{red}4} \end{pmatrix}=-6 }

והפתרון נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lclcl} x & = & \frac{-12}{3} & = & -4 \\ y & = & \frac{18}{3} & = & 6 \\ z & = & \frac{-6}{3} & = & -2 \end{array} }

הוכחה

הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת $\ Ax=b$. נסמן את עמודות המטריצה ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha_1, \dots, \alpha_n} . הטענה כי הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_1,\dots,x_n)} פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1 \alpha_1+\dots +x_n \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} x_i \alpha_i =b} נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A = \det(\alpha_1,\dots,\alpha_n) }

הדטרמיננטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A_k } מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b. כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A_k=\det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1}\dots,\alpha_n) = \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\sum x_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)}

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא ליניארית בכל רכיב, מתקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A_k=\sum_1^n x_i \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n) }

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל $i\neq k$ מתקיים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=0} ולכן נותרנו עם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det A_k=x_k \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=x_k\det A}

ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_k =\frac{\det A_k}{\det A}} .

הוכחה בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_1, \dots, x_n)} הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האיבר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &\dots &\dots &a_{1n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &\dots &\dots &a_{nn}&b_{n}\\0&\dots &1&\dots &0&x_{k}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האיברים הם אפס, פרט לעמודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} ולעמודה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n+1} . מכיוון שהווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_1, x_2, \dots , x_n, -1) } פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה ליניארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_k } מוכפל בגורם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1) ^{n-k}} , מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה-$\ k$ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n-k+1} . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^{n+1+k}} ולכן מתקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^{n+1+k+n-k}\det A_k + (-1)^{n+1+n+1}x_k\det A = x_k\det A-\det A_k =0}

כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_k =\frac{\det A_k}{\det A}}

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נוסחת קרמר בוויקישיתוף

• נוסחת קרמר, באתר MathWorld (באנגלית)   
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים
• כלל קרמר במחשבון - פתרון מערכת משוואות לינארית, סרטון באתר יוטיוב

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30310356נוסחת קרמר