רדיוס בוהר

רדיוס בוהר
יחידות	ערך
מטר	^[1]‏‎0.52917721092(17)×10^-10‎
פיקומטר	52.917721092≈
Å	0.52917721092≈

רדיוס בוהר הוא קבוע פיזיקלי השווה בערכו בערך למרחק בין הפרוטון לאלקטרון באטום מימן במצב היסוד ומסומן $a_{0}$ . הקבוע נקרא על שם נילס בוהר, תודות לחלקו במודל האטום של בוהר.

רדיוס בוהר הרגיל

ביחידות SI רדיוס בוהר מוגדר באופן הבא:^[2]

a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {e} }\,c\,\alpha }}

,

ואילו ביחידות cgs הוא מוגדר באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0=\frac{\hbar^2}{m_e e^2}} ,

כאשר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_0} הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} הוא קבוע פלאנק המצומצם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{\mathrm{e}}} היא מסת המנוחה של האלקטרון

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} הוא המטען היסודי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} היא מהירות האור בריק

\alpha

הוא קבוע המבנה הדק

נכון לשנת 2013, ערכו של רדיוס בוהר, הוא^[1]‏‎0.52917721092(17)×10^-10‎ מטר שהם כ-53 פיקומטר או 0.53 אנגסטרום.

מודל האטום של בוהר, שהוצע על ידי נילס בוהר בשנת 1913, מתאר אלקטרון המסתובב סביב גרעין במסלולים סגורים. יחודו של המודל בכך שהאלקטרון יכול להקיף את האטום רק במרחקים מסוימים כתלות באנרגיה שלו. באטום הפשוט ביותר, אטום המימן, אלקטרון יחיד מקיף את הגרעין, ובמסלול הקרוב ביותר האפשרי, כלומר באנרגיה הנמוכה ביותר שלו, המרחק בין האלקטרון לגרעין הוא בקרוב רדיוס בוהר. הטעות נובעת מכך שלא מתחשבים באפקט המסה המצומצמת (ראו למטה) וההבדל הוא בערך 0.1%.

אף על פי שמודל האטום של בוהר כבר אינו המודל המשמש לתיאור מבנה האטום, רדיוס בוהר נותר קבוע שימושי לחישובים בפיזיקה אטומית, תודות לקשר הפשוט שלו לקבועים בסיסיים אחרים וזו גם הסיבה בגינה הוא מוגדר עבור מסת המנוחה של האלקטרון ולא עבור מסה מצומצמת. לדוגמה, רדיוס בוהר הוא יחידת אורך ביחידות אטומיות.

במודל העדכני של אטום המימן, לפי מכניקת הקוונטים, המרחק הממוצע או ערך התצפית של המרחק בין האלקטרון לגרעין אטום המימן הוא כ-1.5a₀≈,^[3] התוצאה שקיבלנו היא מאותו סדר גודל.

רדיוס בוהר הוא אחד משלוש יחידות האורך הקשורות, כאשר השתיים הנוספות הן אורך גל קומפטון של האלקטרון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{\mathrm{e}}} והשני הוא הרדיוס הקלאסי של האלקטרון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{\mathrm{e}}} . רדיוס בוהר מורכב ממסת האלקטרון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{\mathrm{e}}} , קבוע פלאנק, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} ומטען האלקטרון (המטען היסודי), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} . אורך גל קומפטון של האלקטרון, $\lambda _{\mathrm {e} }$ , קטן בערך פי 20 מרדיוס בוהר, ומורכב מ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{\mathrm{e}}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar} ומהירות האור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . רדיוס האלקטרון הקלאסי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{\mathrm{e}}} , קטן בערך פי 1000 מאורך גל קומפטון, ומורכב מ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{\mathrm{e}}} , $e$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . הקשר בין האורכים השונים ניתן להבעה באמצעות קבוע המבנה הדק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} במשוואה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{\mathrm{e}} = \frac{\alpha \lambda_{\mathrm{e}}}{2\pi} = \alpha^2 a_0} .

רדיוס בוהר המצומצם

רדיוס בוהר המצומצם הוא ערך אשר לוקח בחשבון את ההשפעה של תנועת האלקטרון על הגרעין. באופן קלאסי האלקטרון והגרעין שניהם "נעים" סביב נקודה משותפת. את האפקט הזה לוקחים בחשבון אם במקום מסת האלקטרון משתמשים במסה המצומצמת של האלקטרון והגרעין, או באופן שקול במקום אורך גל קומפטון של האלקטרון משתמשים בסכום אורכי הגל של האלקטרון והגרעין. מכך נובע שעבור אטום המימן ניתן לבטא את רדיוס בוהר באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_0^* \ = \frac{\lambda_{\mathrm{p}} + \lambda_{\mathrm{e}}}{2\pi\alpha}} ,

כאשר:

\lambda _{\mathrm {p} }\

הוא אורך גל קומפטון של הפרוטון

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{\mathrm{e}} \ } הוא אורך גל קומפטון של האלקטרון

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \ } הוא קבוע המבנה הדק

ראו גם

מודל האטום של בוהר

קישורים חיצוניים

יחידות אורך בפיזיקה: רדיוס בוהר (באנגלית)
ערכו המעודכן של רדיוס בוהר, באתר CODATA (באנגלית)

הערות שוליים

^ ^1.0 ^1.1 המספר המופיע בסוגריים הוא השגיאה הנכתבת בצורה: 0.1234±0.0056 = (56)0.1234
^ David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice-Hall, 1995, p. 137. מסת"ב 0-13-124405-1
^ Modern physics, by Serway, Moses, Moyer, Example 8.9, p284 הערך 1.5a₀ הוא קירוב, ולא במדויק, עקב הזנחת מסה מצומצמת, תיקוני המבנה הדק ועוד תיקונים יחסותיים קטנים דומים

[שגיאה-1] 1.0 ^1.1 המספר המופיע בסוגריים הוא השגיאה הנכתבת בצורה: 0.1234±0.0056 = (56)0.1234

[2] David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice-Hall, 1995, p. 137. מסת"ב 0-13-124405-1

[3] Modern physics, by Serway, Moses, Moyer, Example 8.9, p284 הערך 1.5a₀ הוא קירוב, ולא במדויק, עקב הזנחת מסה מצומצמת, תיקוני המבנה הדק ועוד תיקונים יחסותיים קטנים דומים

[1]

[2]

[3]