קונבולוציה מעגלית

קונבולציה מעגלית (באנגלית: circular convolution) או קונבולציה ציקלית (באנגלית: cyclic convolution) היא פעולה מתמטית היוצרת סדרה משילוב של שתי סדרות בעלות אורך שווה וסופי $N$ .

פעולה זו משמעותית במיוחד בהקשר של התמרת פורייה בדידה (DFT), שבה הקונבולוציה המעגלית של שתי סדרות בתחום הזמן שקולה לכפל של ה-DFT שלהן בתחום התדר – משפט הקונבולוציה.

קונבולציה מעגלית היא מקרה פרטי של קונבולציה מחזורית (periodic convolution), שהיא קונבולוציה של שתי פונקציות מחזוריות בעלות אותו מחזור. קונבולציה מחזורית עולה, למשל, בהקשר של התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT). בפרט, DTFT של מכפלה של שתי סדרות בדידות היא קונבולוציה מחזורית של DTFT של הסדרות הבדידות – משפט הקונבולוציה. DTFT הוא סיכום מחזורי של התמרת פורייה רציפה. אף על פי ש־DTFT היא בדרך כלל פונקציה רציפה של התדר, המושגים קונבולוציה מחזורית וקונבולוציה מעגלית ניתנים להחלה ישירה גם על סדרות בדידות של נתונים.

הגדרות

קונבולוציה מחזורית

ניתן להגדיר את הקונבולוציה המחזורית של שתי פונקציות מחזוריות בעלות מחזור $T$ , ‏ $h_{_{T}}(t)$ ו־ $x_{_{T}}(t)$ כך:

\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau

כאשר $t_{0}$ הוא פרמטר שרירותי.

כמו כן, ניתן להגדיר הגדרה חלופית, במונחים של סימון של קונבולציה ליניארית או א-מחזורית רגילה, על ידי ביטוי של $h_{_{T}}(t)$ ושל $x_{_{T}}(t)$ כסיכומים מחזוריים (periodic summations) של רכיבים א-מחזוריים $h$ ו־ $x$ , כלומר:

h_{_{T}}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)

אזי:

\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau \ \triangleq \ (h*x_{_{T}})(t)=(x*h_{_{T}})(t)

ניתן לקרוא לשתי צורות אלו קונבולציה מחזורית.

קונבולוציה מעגלית

קונבולוציה מעגלית היא מקרה פרטי חשוב המתקבל מהגבלת החלקים שאינם אפס של $h$ ו־ $x$ לתחום $[0,T]$ , כלומר שתי הפונקציות מתאפסות מחוץ לתחום זה. במקרה זה, הסיכום המחזורי הופך להרחבה מחזורית, שניתן לבטא גם כפונקציה מעגלית: