קבוצה מאוזנת

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באלגברה ליניארית, קבוצה מאוזנת היא תת-קבוצה של מרחב וקטורי כלשהו מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים אשר סגורה לכפל בסקלר בעל ערך מוחלט קטן מ-1.

לקבוצות מאוזנות חשיבות גדולה באנליזה פונקציונלית ובפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים. לעיתים קרובות ניתן לצמצם או להרחיב קבוצה נתונה כלשהי לכדי קבוצה מאוזנת, תוך שימור תכונותיה.

בערך זה נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב וקטורי כלשהו. כמו כן, נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} את השדה מעליו פועל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} כאשר $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (שדה הממשיים) או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (שדה המרוכבים). לבסוף, עבור $A,B\subseteq V$ , $v\in V$ ו- $\lambda \in \mathbb {K}$ נסמן:

$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$

$A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}$

$\lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}$

הגדרה מתמטית

קבוצה $A\subseteq V$ תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל $a\in A$ ולכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\leq 1$ מתקיים כי $ca\in A$ .^[1]

במקרה שבו $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הבאים מתקיימים:

$A$ סגורה לכיווץ: לכל $a\in A$ ולכל $0\leq c\leq 1$ מתקיים $ca\in A$
$A$ סימטרית: לכל $a\in A$ מתקיים כי $-a\in A$ .

במקרה שבו $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הללו מתקיימים ובנוסף מתקיים התנאי:

$A$ סגורה לסיבוב מרוכב: לכל $a\in A$ ולכל $0\leq \theta \leq 2\pi$ מתקיים $e^{i\theta }a\in A$ .

בעוד שכל קבוצה מאוזנת היא בהכרח סימטרית, ההפך איננו בהכרח נכון.

אין להתבלבל בין קבוצה מאוזנת לקבוצה פתוחה או סגורה. למעשה, קבוצות מאוזנות יכולות שלא להיות פתוחות (סגורות) וקבוצות פתוחות (סגורות) יכולות שלא להיות מאוזנות.

קליפה מאוזנת וליבה מאוזנת

בהינתן קבוצה $A\subseteq V$ כלשהי (לאו דווקא מאוזנת), ניתן להגדיר:

$\operatorname {Bal} (A):=\bigcup _{c\in \mathbb {K} ,|c|\leq 1}{cA}$

$\operatorname {Balcore} (A):=\bigcap _{c\in \mathbb {K} ,|c|\geq 1}{cA}$

הקבוצה $\operatorname {Bal} (A)$ נקראת הקליפה המאוזנת של $A$ (balanced hull) והקבוצה $\operatorname {Balcore} (A)$ נקראת הליבה המאוזנת של $A$ (balanced core). ניתן להוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bal}(A)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Balcore}(A)} שתיהן קבוצות מאוזנות ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Balcore}(A)\subseteq A \subseteq \operatorname{Bal}(A)} . כלומר, ניתן להרחיב או לצמצם כל קבוצה על-מנת שתהיה קבוצה מאוזנת. יתרה מכך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bal}(A)} היא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את $A$ בעוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Balcore}(A)} היא הקבוצה המאוזנת המקסימלית המוכלת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . ניתן להוכיח כי התנאים הבאים שקולים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצה מאוזנת
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\operatorname{Bal}(A)}
$A=\operatorname {Balcore} (A)$

תכונות

עבור מרחב וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} עצמו הוא קבוצה מאוזנת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{0\}} היא קבוצה מאוזנת (באופן טריוויאלי) וכן הקבוצה הריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset} היא קבוצה מאוזנת באופן ריק.
כל קבוצה מאוזנת ולא ריקה מכילה את הראשית. כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset\ne A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\in A} .
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ne \lambda \in \mathbb{K}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda A} היא קבוצה מאוזנת.
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \mathbb{K}} כך ש- $|\lambda |=1$ , אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda A=A} . הדבר נכון בפרט עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -A} .
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B\subseteq V} שתיהן קבוצות מאוזנות אז הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A+B} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup B} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cap B} כולן מאוזנות.
בהינתן מרחב נורמי, כל כדור פתוח או סגור סביב הראשית הוא קבוצה מאוזנת.
במקרה שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} הוא מרחב וקטורי טופולוגי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} קבוצה פתוחה כלשהי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Bal}(A)} היא קבוצה פתוחה (נובע מרציפות הכפלה בסקלר). אם לחלופין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה סגורה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Balcore}(A)} היא קבוצה סגורה.

ראו גם

לקריאה נוספת

קבוצה מאוזנת, באתר MathWorld (באנגלית)

קישורים חיצוניים

קבוצה מאוזנת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ Lawrence Narici, Edward Beckenstein, Topological vector spaces, 2. ed, Boca Raton: CRC Press, 2011, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, מסת"ב 978-1-58488-866-6

יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצה מאוזנת37587457Q778785

[1] Lawrence Narici, Edward Beckenstein, Topological vector spaces, 2. ed, Boca Raton: CRC Press, 2011, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, מסת"ב 978-1-58488-866-6

[1]

קבוצה מאוזנת

תוכן עניינים

הגדרה מתמטית

קליפה מאוזנת וליבה מאוזנת

תכונות

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

קבוצה מאוזנת

הגדרה מתמטית

קליפה מאוזנת וליבה מאוזנת

תכונות

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש