קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י

במתמטיקה, מספר פיבונאצ'י ההופכי, המסומן באות ψ, הוא הסכום של כל המספרים ההופכיים של מספרי פיבונאצ'י:

\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .

על פי תנאי ההתכנסות של קושי, הטור מתכנס למספר. המספר הוא בערך:

\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots .

ביל גוספר מצא אלגוריתם לקירוב מהיר של המספר אשר מספקת $O(k^{2})$ ספרות (משום שסדרת פיבונאצ'י מביא $$ O(k) $$ ערכים עבור k ערכים). המספר הוא אי רציונלי. עובדה זו הושערה על ידי פאול ארדש ורונלד גראהם והוכחה בשנת 1989 על ידי ריצ'רד אנדרה-ג'ננין. השבר משולב של המספר הוא:

\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,.

למספר קשור ליחס הזהב וניתן להגדיר את מספר פיבונאצ'י ההופכי על פי הטור הבא:

\psi ={\sqrt {5}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{(\phi )}^{n}-{(-\phi )}^{-n}}}

כאשר $\ \phi$ זה יחס הזהב.

קישורים חיצוניים

קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י29824416Q3772671