צירוף קמור

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
בהינתן שלוש נקודות במישור, $ x_{1},x_{2},x_{3} $, כפי שמוצג באיור, ניתן לבטא את הנקודה $ P $ כצירוף קמור של שלוש הנקודות, ואילו את $ Q $ לא ניתן לבטא כך.
(לעומת זאת, $ Q $ היא דווקא כן צירוף אפיני של שלוש הנקודות, שכן הסגור האפיני שלהן הוא כל המישור.)
צירוף קמור של שתי נקודות $ v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2} $ במרחב וקטורי דו ממדי $ \mathbb {R} ^{2} $, מונפש בגאוגברה בצורה $ K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2} $, כאשר $ t\in [0,1] $
צירוף קמור של שתי פונקציות כווקטורים במרחב וקטורי של פונקציות – מומחש בתוכנת גאוגברה על הקטע $ [a,b]=[-4,7] $.פונקציה אחת (בירוק) היא הפולינום $ f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2 $, והפונקציה האחרת (בכחול) היא הפונקציה הטריגונומטרית $ g(x):=2\cos(x)+1 $ – שתיהן מוגדרות על הקטע $ [a,b] $.
הצירוף הקמור $ K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g $ שֶׁל $ f $ ו-$ g $ משורטט בצבע אדום.

בגיאומטריה קמורה ובמרחבים וקטוריים, צירוף קמור הוא צירוף ליניארי של נקודות (שיכולות להיות וקטורים, סקלרים או באופן כללי יותר נקודות במרחב אפיני) כאשר כל המקדמים אי-שליליים וסכומם הוא 1.[1] במילים אחרות, הפעולה שווה לממוצע משוקלל רגיל, אלא שנדרש שהמשקלים יהיו מבוטאים כחלק היחסי של כל משקל מ-1.

פורמלית, בהינתן מספר סופי של נקודות $ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n} $ במרחב וקטורי ממשי, צירוף קמור של הנקודות האלה הוא כל נקודה $ u $ שניתן לבטא בצורה

$ {\displaystyle u=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}} $

כאשר לכל $ i $, מתקיים ש-$ \alpha _{i} $ הוא מספר ממשי אי-שלילי ($ \alpha _{i}\geq 0 $) וכן $ \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1 $.[1]

לדוגמה, כל צירוף קמור של שתי נקודות נמצא על הקטע המחבר ביניהן.[1]

קבוצה נקראת קמורה אם היא מכילה את כל הצירופים הקמורים של הנקודות שלה. הקמוֹר של קבוצת נקודות נתונה הוא בדיוק קבוצת כל הצירופים הקמורים שלהם.[1]

במרחבים וקטוריים, קיימות תת-קבוצות של המרחב שאינן סגורות תחת צירופים ליניאריים, אבל כן סגורות תחת צירופים קמורים. לדוגמה, הקטע $ [0,1] $ הוא קמור, אך תחת צירופים ליניאריים, הוא יוצר את הישר הממשי. דוגמה נוספת לכך היא קבוצה של התפלגויות הסתברות, שכן צירופים ליניאריים כלליים של התפלגויות אינם דווקא אי-שליליים או אפיניים (כלומר, בעלי מידה אחת).

אובייקטים אחרים

  • באופן דומה, ניתן להגדיר משתנה מקרי $ X $ שהוא צירוף קמור של משתנים מקריים $ Y_{i} $, עם מקדמים $ \alpha _{i} $ כמו לעיל. במקרה זה, פונקציית התפלגות ההסתברות של $ X $ היא ממוצע משוקלל של התפלגויות ההסתברות המרכיבות שלו – המכונה לעיתים קרובות התפלגות תערובת (סופית):
    $ {\displaystyle F_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{Y_{i}}(x)} $

מבנים קשורים

  • צירוף חרוטי (conical combination) הוא צירוף ליניארי עם מקדמים אי-שליליים. כאשר נקודה $ x $ יש להשתמש כמקור הייחוס להגדרת וקטורי תזוזה, אם כן $ x $ הוא צירוף קמור של $ n $ נקודות $ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n} $ אם ורק אם תזוזה אפס היא שילוב חרוטי לא טריוויאלי שלהם $ n $ וקטורי תזוזה בהתאמה ביחס ל $ x $ .
  • ממוצע משוקלל זהה מבחינה תפקודית לצירוף קמור, אך הם משתמשים בסימון שונה. המקדמים (המשקולות) בממוצע משוקלל אינם נדרשים להיסכם ל-1; במקום זאת, הצירוף הליניארי המשוקלל מחולק במפורש בסכום המשקולות.
  • צירוף אפיני הוא כמו צירוף קמור, אבל המקדמים אינם נדרשים להיות אי-שליליים. לפיכך, צירופים אפיניים מוגדרים במרחבים וקטוריים מעל כל שדה, ולא רק מעל שדות סדורים.

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., pp. 11–12, MR 0274683
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

צירוף קמור33980509Q2627315