צירוף קמור

(לעומת זאת, $ Q $ היא דווקא כן צירוף אפיני של שלוש הנקודות, שכן הסגור האפיני שלהן הוא כל המישור.)


הצירוף הקמור $ K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g $ שֶׁל $ f $ ו-$ g $ משורטט בצבע אדום.
בגיאומטריה קמורה ובמרחבים וקטוריים, צירוף קמור הוא צירוף ליניארי של נקודות (שיכולות להיות וקטורים, סקלרים או באופן כללי יותר נקודות במרחב אפיני) כאשר כל המקדמים אי-שליליים וסכומם הוא 1.[1] במילים אחרות, הפעולה שווה לממוצע משוקלל רגיל, אלא שנדרש שהמשקלים יהיו מבוטאים כחלק היחסי של כל משקל מ-1.
פורמלית, בהינתן מספר סופי של נקודות $ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n} $ במרחב וקטורי ממשי, צירוף קמור של הנקודות האלה הוא כל נקודה $ u $ שניתן לבטא בצורה
$ {\displaystyle u=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}} $
כאשר לכל $ i $, מתקיים ש-$ \alpha _{i} $ הוא מספר ממשי אי-שלילי ($ \alpha _{i}\geq 0 $) וכן $ \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1 $.[1]
לדוגמה, כל צירוף קמור של שתי נקודות נמצא על הקטע המחבר ביניהן.[1]
קבוצה נקראת קמורה אם היא מכילה את כל הצירופים הקמורים של הנקודות שלה. הקמוֹר של קבוצת נקודות נתונה הוא בדיוק קבוצת כל הצירופים הקמורים שלהם.[1]
במרחבים וקטוריים, קיימות תת-קבוצות של המרחב שאינן סגורות תחת צירופים ליניאריים, אבל כן סגורות תחת צירופים קמורים. לדוגמה, הקטע $ [0,1] $ הוא קמור, אך תחת צירופים ליניאריים, הוא יוצר את הישר הממשי. דוגמה נוספת לכך היא קבוצה של התפלגויות הסתברות, שכן צירופים ליניאריים כלליים של התפלגויות אינם דווקא אי-שליליים או אפיניים (כלומר, בעלי מידה אחת).
אובייקטים אחרים
- באופן דומה, ניתן להגדיר משתנה מקרי $ X $ שהוא צירוף קמור של משתנים מקריים $ Y_{i} $, עם מקדמים $ \alpha _{i} $ כמו לעיל. במקרה זה, פונקציית התפלגות ההסתברות של $ X $ היא ממוצע משוקלל של התפלגויות ההסתברות המרכיבות שלו – המכונה לעיתים קרובות התפלגות תערובת (סופית):
- $ {\displaystyle F_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{Y_{i}}(x)} $
מבנים קשורים
- צירוף חרוטי (conical combination) הוא צירוף ליניארי עם מקדמים אי-שליליים. כאשר נקודה $ x $ יש להשתמש כמקור הייחוס להגדרת וקטורי תזוזה, אם כן $ x $ הוא צירוף קמור של $ n $ נקודות $ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n} $ אם ורק אם תזוזה אפס היא שילוב חרוטי לא טריוויאלי שלהם $ n $ וקטורי תזוזה בהתאמה ביחס ל $ x $ .
- ממוצע משוקלל זהה מבחינה תפקודית לצירוף קמור, אך הם משתמשים בסימון שונה. המקדמים (המשקולות) בממוצע משוקלל אינם נדרשים להיסכם ל-1; במקום זאת, הצירוף הליניארי המשוקלל מחולק במפורש בסכום המשקולות.
- צירוף אפיני הוא כמו צירוף קמור, אבל המקדמים אינם נדרשים להיות אי-שליליים. לפיכך, צירופים אפיניים מוגדרים במרחבים וקטוריים מעל כל שדה, ולא רק מעל שדות סדורים.
ראו גם
הערות שוליים
צירוף קמור33980509Q2627315