מכונת החישוב של פסקל

מכונת החישוב של פסקל

המחשב של פסקל היה מחשב מכני דיגיטלי שהומצא על ידי בלז פסקל בתחילת המאה ה-17. הוא נקרא בתחילה המכונה האריתמטית ומאוחר יותר כונה הפסקלין. פסקל פיתח את מכונת החישוב שלו כדי לסייע לאביו, שהיה גובה מסים ברואן, בביצוע החישובים הרבים שנלוו לעבודתו. המכונה של פסקל יכלה לחבר ולחסר שני מספרים ישירות.

פסקל היה הראשון לאמץ את השימוש בגלגלי שיניים לצורך ביצוע חישוב מכני, כמו גם הראשון לאמץ את השימוש בגלגלי שיניים מסוג lantern gear, בהם נעשה שימוש בשעוני צריח ובגלגלי מים. המחשב של פסקל היה מוצלח במיוחד בתכנון של מנגנון העברת האחדות (tens carry machanism) שלו. מקוריותו של פסקל באה לידי ביטוי במיוחד בהמצאת הרכיב המרכזי של המכונה, מעין מנוף קטן שהוא עצמו כינה sautoir, אשר היה אחראי על "זכירת" והעברת אחדות מספרה לספרה הבאה כל אימת שספרה מסוימת עולה בערכה מ-9 ל-10. רכיב זה אפשר לממש את פונקציית ההוספה האוטומטית, שהיא הבסיס לפעולת מכונות חישוב מכניות מתקדמות יותר (שיכולות לבצע פעולות מתמטיות מורכבות יותר).

היסטוריה

מחשבים שקדמו למחשב של פסקל

אמצעי עזר לחישוב

החשבונייה (בלעז: abacus), שקרוב לוודאי הומצאה באזור שומר בין השנים 2700 ל-2300 לפנה"ס, היא אמצעי חישובי קדום שהומצא על ידי בני האדם. בעוד אין לה חלקים אוטומטיים נעים או גלגלי שיניים, התנועה של החרוזים על המוטות המקובעים מספקת דרך יעילה לביצוע כל ארבע פעולות החשבון.

מחשבים אנלוגיים, בובות מכניות

מד דרך (odometer) שצויר על ידי לאונרדו דה וינצ'י ב-1519

רשימה קצרה של מחשבים שקדמו למחשב המכני הדיגיטלי חייבת לכלול את מנגנון אנטיקיתרה היווני המתוארך לסביבות שנת 100 לפנה"ס, פלא טכנולוגי המבוסס על מנגנון גלגלי שיניים ייחודי ומחוץ לזמן ולמקום בו נבנה; רמתו הטכנולוגית עלתה לאין שיעור על התקופה והמקום אליהם הוא משויך. רק כעבור מילניום הופיעו מנגנונים שרמתם הטכנולוגית יכולה להתחרות בזו של מנגנון זה, בדמותם של שעונים מכניים גדולים ואצטרולבים מבוססי גלגלי שיניים. המכונות הללו היו כולן מורכבות מגלגלים משוננים המקושרים באמצעות סוגים מסוימים של מנגנונים הקושרים ביניהם. הם שייכים לקבוצה של מחשבים אנלוגיים מכניים, אשר, מרגע שהמצב ההתחלתי שלהם הוגדר (נתוני ההתחלה), פעלו ללא התערבות חיצונית אלא רק על ידי הפעולה הרציפה והחוזרת של האקטואטורים שלהם (שיכלו להיות ידית כננת, נפילתן העצמית של משקולות, סיבוב גלגל ועוד).

מד הדרך שעל המרכבה של שושלת האן

ניתן לראות גם מספר אמצעי מדידה ובובות מכניות כמכשירים שהקדימו את מכונת החישוב של פסקל. מד דרך (odometer), מכשיר למדידת מרחקים, תואר לראשונה בסביבות שנת 25 לפנה"ס על ידי המהנדס הרומי ויטרוביוס בכרך העשירי של ספרו על אודות האדריכלות. הוא הורכב מסדרה של גלגלי שיניים גדולים וקטנים לסירוגין (כל גלגל קטן הורכב על הציר של גלגל גדול, ונשק לגלגל גדול נוסף אליו הוא תמסר את תנועת הסיבוב), כך שיחס ההקטנה (Gear ratio) עלה בצורה גאומטרית, וזאת כדי לאפשר למכשיר למדוד מרחקים גדולים מבלי לחרוג מיכולת המדידה שלו. הגלגל הראשון בשרשרת היה בדרך כלל אחד מגלגלי המרכבה, והמכשיר ציין בדרך כלל את המרחק שעבר בעזרת נפילת כדור בכל מיל רומי שהמרכבה עברה.

טקסט סיני מן המאה ה-3 לאחר הספירה מתאר מרכבה המצוידת במנגנון גלגלי שיניים שהפעיל שתי דמויות מעץ. אחת מהן הקישה בתוף כעבור חלוף מרחק לי סיני אחד, בעוד האחרת הקישה בתוף כל מרחק של עשרה לי שחלף.

איור של מכונת החישוב של שיקארד

במאה ה-13, הכמרים אלברטוס מגנוס ורוג'ר בייקון בנו ראשים מדברים, מעין בובות מכניות שיכלו להפיק מספר מוגבל של קולות.

איש האשכולות האיטלקי לאונרדו דה וינצ'י שרטט אודומטר (מד דרך) בשנת 1519.

ב-1525, איש המלאכה הצרפתי ז'אן פרנל בנה את הפדומטר הראשון. הוא עוצב בצורה של שעון והיה בעל ארבע חוגות (אחדות, עשרות, מאות ואלפים) המקושרות על ידי מנגנון מסוים.

ב-1623 ו-1624, וילהלם שיקארד, בשני מכתבים שהוא שלח לקפלר, דיווח על התכנון והבנייה שלו של מכונת חישוב שכינה arithmeticum organum ("מכשיר אריתמטי") שהמציא. הוא גם כינה אותה "שעון מחשב" בהערה שכתב לאמן אשר בידו הפקיד את בניית המכונה. ההערות של שיקארד לא מספקות פרטים מלאים על המנגנון של המכונה, ומחקרים שנערכו הראו שקרוב לוודאי שלמכשיר היו מגבלות על האפקטיביות של הפעולה שלו. תכנונים אחרים למכונת חישוב שהופיעו במאה ה-17 כוללים את מכונת החישוב השונה מאד של פסקל (והיא זו שהערך עוסק בה), שבאופנים מסוימים הייתה עדיפה על מכונת החישוב של שיקארד (אם כי באופנים אחרים הנה שאפתנית פחות).

המחשב של פסקל; הישגיו

הפסקלין

מבט על החלק האחורי של המחשב מגלה את גלגלי השיניים שבתוכו

פסקל החל לעבוד על מכונת החישוב שלו ב-1642, כשהוא היה בן 19. הוא סייע לאביו שלו, שעבד כגובה מסים, וחיפש למצוא דרך להפיק מכשיר שיוכל להקל על מלאכת החישוב הרבה שבעבודתו. פסקל קיבל פריבילגיה מלכותית ב-1649 שהקנתה לו זכות בלעדית לבנות ולמכור מכונות חישוב בצרפת. ב-1654 הוא כבר מכר עשרים מכונות, אבל העלות והמורכבות של מכונות הפסקלין היוו מחסום למכירות הלאה וייצור המכונה הופסק בשנה זו. בערך בתקופה זו פסקל זנח את עיסוקיו המדעיים והחל להקדיש את כל כולו לעיסוק בדת ופילוסופיה, מה שנתן לנו את יצירותיו "המכתבים הפרובינציאליים" ו-"הגיגים".

מלבד היותה מכונת החישוב הראשונה שנודעה בציבור בתקופתו של פסקל, הפסקלין הייתה גם:

• המחשב המכני הפעיל היחיד במאה ה-17.
• המחשב המכני הראשון בעל מנגנון העברת עשרות מבוקר.
• המחשב המכני הראשון בו נעשה שימוש במשרד (משרדו של אביו כדי לחשב מסים).
• המחשב המכני הראשון שנסחר (בסביבות 20 מכונות נבנו).
• המחשב המכני הראשון עליו נרשם פטנט (ב-1649).
• המחשב המכני הראשון שתואר באנציקלופדיה (דידרו & דלאמבר, 1751):

המכונה האריתמטית הראשונה שהוצגה לציבור הייתה זו של בליז פסקל, שנולד בקלרמונט ב-19 ביוני 1623; הוא המציא אותה בגיל 19. מכונות אחרות תוכננו מאז אשר, לדעתם של חברים אחדים באקדמיה הצרפתית למדעים, הינם בעלי יתרונות פרקטיים יותר; אבל המכונה של פסקל היא הישנה מכולן; כך שהייתה מודל לכל מכונות החישוב האחרות; זו הסיבה מדוע העדפנו לציין אותה דווקא.

ממשק המשתמש - מכונה

הפעלת המכונה

למחשב של פסקל היו גלגלי חוגות מתכתיים מחושרים, כשהספרות 0 עד 9 מוצגות מסביב להיקף של כל גלגל. כדי להזין ספרה, המשתמש הציב סימניה (מעין מוט סימון קטן) במרווח המתאים לספרה, וסובב את החוגה עד אשר עצירה מתכתית בתחתית הושגה, בדומה לאופן בו משתמשים בחוגת טלפון מעגלית. פעולה זו הציגה את הספרה שהוזנה בחלון שבחלק העליון של המחשב. לאחר מכן, המשתמש פשוט הזין את המספר השני שצריך להיות מחובר, ובכך גרם לסכום של שני המספרים להיות מוצג באקומולטור.

כיוון שניתן היה לסובב את גלגלי השיניים רק בכיוון אחד, לא ניתן היה לסכום באופן ישיר מספרים שליליים. כדי לחסר מספר אחד מאחר, יש לעשות שימוש בשיטת המשלים ל-9 ( nine's complement method). ההבדל היחיד בין הוספה והחסרה הוא הדרך בה התוצאה נקראת (תוצאה ישירה מול תוצאה משלימה; כל חלון פלט מציג זוג ספרות שמסתכמות יחד ל-9) והדרך בה המספר הראשון מוזן (מספר ישיר לעומת משלים).

גלגל קלט.

גלגל הקלט

בעבור מספר בבסיס עשרוני, החלק שמקיף את גלגל הקלט ממוספר בספרות מ-0 עד 9. הספרות מסודרות מסביב להיקף הגלגל בסדר יורד כאשר מתקדמים בכיוון השעון מצדו השמאלי של מעצור הגלגל לצדו הימני של המעצור. כדי להוסיף 5, יש להוסיף אמצעי סימון קטן בין החישורים המתאימים לספרה 5, ולסובב את הגלגל בכיוון השעון כל הדרך עד למעצור. המספר שיופיע בתצוגת הפלט יגדל ב-5, ואם, פעולת העברת עשירייה תתרחש, המספר שבחלון שמשמאלו יגדל ב-1. כדי להוסיף 50, יש להשתמש בגלגל הקלט של ספרת העשרות (חוגה שנייה מימין במכונה עשרונית), כדי להוסיף 500, יש להשתמש בגלגל המאות, וכו'.

סימונים על שני חישורים סמוכים

על כל הגלגלים של המכונות ששרדו, מלבד אלה של ה-machine tardive, שני חישורים סמוכים הינם מסומנים; הסימונים הללו שונים ממכונה למכונה. בגלגל שתמונתו מופיעה משמאל, הסימונים הללו הם חורים בחישורים, בעוד שאחרים הם פשוט נקודות או קווים שנצבעו על החישורים המתאימים.

הסימונים האלה משמשים כדי להציב את גלילי הפלט על ערכם המקסימלי, כך שהמכונה תהיה מוכנה לאיפוס. כדי לאפס את המכונה, המפעיל צריך לשים סימנייה בין שני החישורים המסומנים ולסובב את הגלגל כל הדרך עד למעצור. כדי לסמן את החישורים המתאימים במהלך ייצור המכונה, יש לסובב את גלגל הקלט כך שהמספר הגבה ביותר יופיע על גליל הפלט וברגע זה לסמן את החישורים שמימינו ושמאלו של המעצור.

גלגל פנימי של ספרות משלימות

בארבעה מבין המכונות ששרדו גלגלי הקלט מכילים בנוסף לספרות החיצוניות גם מעגל פנימי יותר של ספרות משלימות שלהן, שמשמש כדי להזין את האופרנד הראשון בפעולת חיסור. אלו כתובות קרוב למרכז של כל גלגל קלט, ומסתובבות ביחד איתו. במכונה עשרונית, הספרות 0 עד 9 מסודרות על המעגל הפנימי בסדר עולה כשהולכים בכיוון השעון (בסדר הפוך מזה של הספרות החיצוניות), כשכל ספרה כתובה בין שני חישורים. הגלגל הפנימי של הספרות המשלימות, משמש כדי לקבוע את המספר המשלים לאופרנד הראשון בתהליך חיסור מבלי לדרוש "מאמץ" שכלי מהמפעיל (להסבר ראה המשך הערך).

המבנה הפנימי של המכונה

כיווץ שעון צריח

פסקל פיתח 50 אבות טיפוס של מכונת החישוב שלו לפני שעמדה לעיני רוחו הגרסה המוגמרת שלה; אנו יודעים כיום שהוא התחיל מסוג כלשהו של מנגנון שעון מחשב שהשתמש בקפיצים ולטענתו "עבד על בסיס קפיצים והיה לו תכנון פשוט מאוד", ושהוא נעזר בו פעמים רבות כדי לעדן ולתכנן מחדש את התכנון של מכונת החישוב שלו. אף על פי כן, בעוד הוא "מנסה תמיד לשפר אותו", הוא מצא צורך בלנסות להפוך את המערכת כולה לאמינה יותר וחסינה. בסופו של דבר הוא אימץ רכיב מסוים של שעונים גדולים מאוד, כשהוא מכווץ ומסגל למטרתו שלו את השימוש בגלגלי שיניים עמידים מסוג lantern gear (המשמש בשעוני צריח), שבעצמו נגזר ממנגנון של גלגלי מים. גלגל שיניים מסוג זה יכל לעמוד בקלות בהזנת הקלט של המפעיל.

גלגל שיניים מסוג lantern gear, שמוראה באיור הזה, יכול לעמוד בכוח של בעל החיים ושל זרימת המים.

גלגל שיניים זה משמש בשעוני צריח הממונעים על ידי משקולות שמשקלן יכול להגיע למאות קילוגרמים.

השימוש של פסקל בגלגל שיניים מסוג זה.

בציור עם הצבעים לעיל, הגלגל הכחול (גלגל הקלט)

שימוש במחגר משונן

פסקל אימץ מנגנון מחגר משונן (Pawl and Ratchet) לתכנון שלו את מכונת החישוב שלו; המחגר המשונן מונע מהגלגל להסתובב נגד כיוון השעון במהלך הזנת הקלט על ידי המפעיל, וגם משמש כדי למצב במדויק את גלגל התצוגה ואת מנגנון הנשיאה במהלך מעבר מספרה לספרה העוקבת לה. כלומר, אודות למנגנון זה, כל ספרה של מספר שמוצג נמצאת בדיוק במרכז חלון התצוגה שלה, ובמילים אחרות בעזרת שיטה זו הגלגל יכול לקבל רק ערכים בדידים (הספרה תמיד במרכז חלון התצוגה, ולא בצדדים שלו).

מנגנון העברת העשרות (Carry mechanism)

ה-sautoir

ה-sautoir.

ה-sautoir הוא רכיב המפתח של מנגנון העברת העשרות של הפסקלין. בחיבורו "Avis nécessaire...", פסקל כתב:

ובנוגע לקלות השימוש בסוג זה של תנועה... הנעת אלף או אפילו עשרת אלפים גלגלים בצורה כזו שכל אחד יבצע את התנועה הנדרשת ממנו באופן מושלם, היא קלה כמו להניע אחד בלבד.

מכונה עם 10,000 גלגלים יכולה לעבוד היטב כמו מכונה עם שני גלגלים אודות לפעולת ה-sautoir, כיוון שכל גלגל הינו בלתי תלוי באחרים. כאשר זה הזמן להעביר אחדה לספרה הבאה, ה-sautoir, תחת ההשפעה היחידה של הכבידה, נזרק אל גלגל השיניים הבא ללא כל מגע בין גלגלי השיניים. במהלך הנפילה החופשית שלו ה-sautoir מתנהג כמו אקרובט המקפץ מטרפז אחד לטרפז הבא מבלי שהטרפזים יגעו אחד בשני (המילה "sautoir" מקורה מן הפועל הצרפתי sauter, שפירושו לקפוץ). לכל רכיבי המכונה (גלגלי שיניים ו-sautoir) יש לפיכך אותו גודל ומשקל ללא קשר לגודל או יכולת המכונה השלמה.

פסקל תכנן את המכונה כך שהכבידה "תטען" את ה-sautoir באנרגיה בכמות מתאימה כדי להעביר לגלגל השיניים הבא בדיוק עשירית סיבוב (כלומר אחדה אחת) בכל פעם שגלגל השיניים משלים סיבוב שלם. כל רכיבי ה-sautoir נטענים על ידי הזנת הקלט על ידי המפעיל או על ידי תמסורת של פעולת העברת אחדה. כדי לאפס מכונה בעלת 10,000 גלגלי שיניים, אם מכונה כזאת הייתה קיימת, המפעיל היה חייב להציב כל גלגל בערכו המקסימלי ואז להוסיף 1 לספרת היחידות. מנגנוני העברת העשרות יסובבו כל גלגל קלט אחד אחרי השני באפקט דומינו מהיר מאד שלאחריו כל גלגלי הפלט יאותחלו מחדש (יוצבו מחדש על אפס; כך למעשה מאפסים את המכונה).

שלוש הפאזות של פעולת העברת אחדה

שלוש הפאזות של פעולת ה-sautoir.

האנימציה משמאל מראה את שלושת השלבים פעולת העברת אחדה מספרה אחת לספרה שאחריה.

1. ראשית כל יש להבין שבצדו האחורי של כל גלגל קלט (לא בצד עליו מוצבות השיניים) בולטים שני פינים (שבאנימציה מודגשים בכחול), אשר במהלך סיבוב גלגל הקלט מקיימים אינטראקציה עם ה-sautoir ומניפים אותו. הפאזה הראשונה בתהליך מתחילה כאשר גלגל התצוגה מראה "4". ברגע זה בדיוק הפין הראשון בגלגל הקלט מתחיל לגעת ברכיב ה-sautoir. בסיום האינטראקציה עם שני הפינים, ה-sautoir נמצא בעמדה (3,4,5) שבאיור. באותו הזמן השן הבועטת (kicking pawl) נמשכת מעלה על ידי ה-sautoir, ונעזרת בפין על גלגל השיניים הבא כהנחיה, אבל ללא השפעה על גלגל השיניים הזה בגלל המחגר המשונן מעליו (שמאפשר לו להסתובב רק בכיוון אחד).

2. הפאזה השנייה מתחילה כאשר גלגל התצוגה משתנה בערכו מ-9 ל-0. השן הבועטת "מצליחה" לחלוף על פני הפין המנחה אותה והלשון הקפיצית שלה (z,u) מציבה אותה מחדש מעל הפין הזה כשהוא מוכן להתחיל ללחוץ עליו בכיוון ההפוך. ה-sautoir ממשיך להיות מורם למעלה כשלפתע פין הנשיאה השני מפיל אותו. ברגע זה ה-sautoir נופל תחת משקלו העצמי.

3. השן הבועטת דוחפת את הפין על הגלגל הלא פעיל ומתחילה לסובב אותו. המחגר המשונן העליון מוזז למרווח הבא.

ביצוע פעולות מתמטיות

הפסקלין היא מכונה הוספה ישירה (אין לה ידית או כננת), כך שהערך של המספר שהוזן מתווסף מיידית לאקומולטור לאחר שהוזן בגלגלי הקלט. באמצעות הזזת המסך שעל חלון התצוגה, המפעיל יכול לראות את המספר שחישב המחשב או את המשלים שלו. החסרות מבוצעות כמו הוספות באמצעות מספר תכונות של שיטת המשלים ל-9.

שיטת המשלים ל-9

המשלים ל-9 של כל מספר עשרוני בעל ספרה אחת $d$ הוא $9-d$. המשלים ל-9 של 4 הוא 5 והמשלים ל-9 של 9 הוא 0. באופן דומה, המשלים ל-11 של 3 הוא 8.

במכונה עשרונית עם n חוגות המשלים ל-9 של מספר A הוא:

$CP(A)=10^{n}-1-A$

ולפיכך, המשלים ל-9 של המספר $(A-B)$ הוא:

$CP(A-B)=10^{n}-1-(A-B)=10^{n}-1-A+B=CP(A)+B$.

במילים אחרות, המשלים ל-9 של הפרש של שני מספרים שווה לסכום של המשלים ל-9 של המספר הראשון בתוספת המספר השני. כיוון שעבור המספר A - B מתקיים: $CP(CP(A-B))=A-B$, ניתן לקרוא את התוצאה מהמספר המשלים למספר $CP(A-B)$, שגם הוא מופיע בחלונות הפלט (כפי שהוזכר מקודם כל גלגל פלט מציג זוג ספרות משלימות ל-9).

הפעולה היחידה שדורשת כביכול "מאמץ" שכלי היא ההזנה של המשלים למחוסר (האופרנד הראשון), אולם גם בה ניתן להיעזר בגלגל הפנימי של ספרות משלימות. לאחר שהוזן המשלים למחוסר, יש להזין את המחסר (והמכונה מיד סוכמת את השניים), והתוצאה תופיע במספר המשלים לתוצאה שחישב המחשב (שניתן לראותו באמצעות הזזת המסך של חלונות הפלט).

אתחול המכונה

את המכונה יש לאתחל לפני שמבצעים בה פעולה חדשה.

כדי לאתחל את המכונה שלו, המפעיל חייב להציב את כל הגלגלים על ערכם המרבי, באמצעות הסימונים על שני חישורים סמוכים, ואז להוסיף 1 לגלגל הימני ביותר.

שיטת האתחול שפסקל בחר להשתמש בה, אשר מקדמת פעולת העברת אחדה לאורך המכונה, היא המשימה התובענית ביותר בעבור מחשב מכני ומוכיחה, לפני כל פעולה, שהמכונה לגמרי מתפקדת. זוהי עדות לאיכות של הפסקלין שכן אף אחת מהביקורות של המאה ה-18 על המכונה לא הזכירה בעיה עם מגנון העברת האחדות של המכונה.

Re-zero	הצב את כל הגלגלים על ערכם המרבי באמצעות הסימונים על שני חישורים סמוכים. כל גלגל יחיד מוכן לפעולת העברת אחדה.	0   0   0   0   0   9   9   9   9   9
	הוסף 1 לגלגל הימני ביותר. כל גלגל שולח את ה-sautoir שלו לבא אחריו, והאפסים מופיעים אחד אחרי השני, כמו באפקט דומינו, מימין לשמאל.	9   9   9   9   9   0   0   0   0   0

חיבור

תוצאות פעולת חיבור נקראות לאחר שהמסך על גלגלי הפלט מוזז קרוב לשפת המכונה, כך שהוא מציג את התוצאה הישירה של האקומולטור.

אחרי אתחול המכונה, שני המחובר מוזנים אחד אחרי השני. הטבלה הבאה מראה את כל הנדרשים לביצוע התרגיל 12,345 + 56,789 = 69,134:

חיסור

החסרות מבוצעות על ידי הזזת המסך קרוב יותר למרכז התצוגה כך שניתן יהיה לראות את המספר המשלים לתוצאה שמופיעה באקומולטור.

הטבלה הבאה מראה את השלבים הנחוצים לביצוע התרגיל 41,976 = 12,345 - 54,321:

ראו גם

• מחשב הפסיעות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מכונת החישוב של פסקל בוויקישיתוף

• The Pascaline of Blaise Pascal - מאמר על המחשב של פסקל.