פונקציית סילבסטר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה, ובמיוחד בתורת החוגים, פונקציית סילבסטר (Sylvester rank function) היא פונקציה ממשית על אוסף המטריצות מעל חוג נתון, המחקה דרגה של מטריצה מעל חוג. לפיכך, מעל חוג המצויד בפונקציית סילבסטר, ניתן לבסס תורת אלגברה ליניארית. חשיבות מבנית נודעת לקיומה של פונקציית סילבסטר: הוא שקול לקיומו של הומומורפיזם לחוג פשוט ארטיני, וקיומה של פונקציית סילבסטר 'נאמנה' המקבלת ערכים שלמים שקול לקיומו של שיכון לתוך חוג עם חילוק. המחקר השיטתי של פונקציות סילבסטר בהקשרי שיכון לתוך חוגים עם חילוק נעשה על ידי Cohn ו-Malcolmson, ובהקשר הנרחב יותר של שיכון לחוגים פשוטים ארטיניים על ידי Schofield.

הגדרות

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג. פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\colon \bigcup_{n,m=1}^{\infty} M_{n\times m}(R) \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}} היא פונקציית סילבסטר אם מתקיימות האקסיומות הבאות:

  • לכל מטריצת אפס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} , מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(O)=0} . למטריצת היחידה מסדר n, מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(I_n)=n}
  • לכל שתי מטריצות מסדרים עבורם המכפלה מוגדרת, מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(AB)\leq \min\{\rho(A),\rho(B)\}}
  • לכל שתי מטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\Bigl(\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\Bigr)=\rho(A)+\rho(B)}
  • לכל שלוש מטריצות מסדרים עבורם המטריצה הבאה מוגדרת, מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\Bigl(\begin{array}{cc} A & C \\ 0 & B \end{array}\Bigr)\geq\rho(A)+\rho(B)}

ישנה הגדרה דואלית, של פונקציית סילבסטר למודולים. זוהי פונקציה ממשית אי-שלילית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} המוגדרת על אוסף המודולים המוצגים סופית מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ומקיימת את האקסיומות הבאות:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(R)=1} (כאשר חושבים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} כמודול חופשי מעל עצמו)
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(M\oplus N)=\rho(M)+\rho(N)}
  • לכל סדרה מדויקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\rightarrow N\rightarrow M \rightarrow K\rightarrow 0} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(K)\leq \rho(M)\leq \rho(N)+\rho(K)}

לכל פונקציית סילבסטר (על מטריצות) ישנה המשכה יחידה לפונקציית סילבסטר למודולים: כל מודול מוצג סופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ניתן לכתיבה כקו-גרעין של הומומורפיזם של מודולים חופשיים, שלו מטריצה מייצגת, נאמר . מגדירים אפוא את הדרגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-\rho(A)} .

הקשר בין פונקציות סילבסטר להצגות מעל חוגים עם חילוק

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג.

  • ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המקבלות ערכים שלמים להומומורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi\colon R\rightarrow D} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} חוג עם חילוק[1].
  • ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המקבלות ערכים בתת-חבורה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n}\mathbb{Z}} להומומורפיזמים כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} חוג עם חילוק[2].
  • ההתאמות הללו נותרות כאשר מצטמצמים לפונקציות סילבסטר נאמנות (כאלה שאינן מעניקות דרגה אפס לאף איבר שונה מאפס בחוג, בהיותו מטריצה מגודל 1), ומנגד לשיכונים לתוך חוגים עם חילוק (או חוגים פשוטים ארטיניים).

דוגמאות

  • כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא שדה (או באופן כללי יותר, חוג עם חילוק), הדרגה של מטריצה (במובן ממד מרחב העמודות) מהווה פונקציית סילבסטר, והממד של מרחב וקטורי מהווה פונקציית סילבסטר למודולים.
  • כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג ארטיני, האורך של סדרת הרכב של מודול נוצר סופית מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , מנורמל באורך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} כמודול מעל עצמו, מהווה פונקציית סילבסטר נאמנה למודולים; מכאן שכל חוג ארטיני משוכן בחוג פשוט ארטיני.
  • קיימים חוגים נתריים שאינם ניתנים לשיכון באף חוג ארטיני, וממילא אין להם אף פונקציית סילבסטר נאמנה (ראו בערך חוג ארטיני).

הערות שוליים

  1. ^ P. Malcolmson, Determining homomorphisms to skew fields, 1980
  2. ^ A. H. Schofield, Representations of rings over skew fields, Lond. Math. Soc. Lecture Note Series 92: Cambridge University Press, 1985
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33702408פונקציית סילבסטר

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=פונקציית_סילבסטר&oldid=2021017"