השערת פוליה
בתורת המספרים, השערת פוליה, הנקראת על שם ג'ורג' פוליה, אומרת ש"רוב" (50% או יותר) מהמספרים הטבעיים פחות ממספר מסוים, יש להם מספר אי זוגי של גורמים ראשוניים. ההשערה הוצגה על ידי ג'ורג' פוליה ב-1919 והוכחה כשגויה על ידי סי. בריאן הסלגרוב ב-1958. ההשערה הזו היא דוגמה להשערה אשר עובדת עבור מספר גדול של מספרים, אך לא עבור כולם. הדוגמה הנגדית שהציג סי. בריאן הסלגרוב אמורה להיות גדולה יותר מ-1.845 × 10361. דוגמה מדויקת הוצגה ב-1960 והיא n = 906,180,359, אך הדוגמה הקטנה ביותר הוצגה ב-1980 והיא n = 906,150,257. ניתן לתאר את ההשערה על פי פונקציית ליוביל בדרך הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0 } לכל n > 1 , כאשר λ(k) = (−1)Ω(k) היא פונקציית ליוביל, ניתן לראות שלפונקציה יש נקודת מקסימום של 829 במספר n = 906,316,571 וההשערה אינה נכונה עבור רוב המספרים בתחום 906,150,257 עד 906,488,079.