פונקציית בליטה

גרף פונקציית הבליטה $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r)$ , כאשר $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ ו- $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}$ .

באנליזה מתמטית, פונקציית בליטה (באנגלית: Bump function) היא פונקציה $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ על המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ שהיא חלקה (במובן שנגזרותיה מכל סדר הן רציפות) ונתמכת בקבוצה קומפקטית. קבוצת כל פונקציות הבליטה בעלות תחום הגדרה $\mathbb {R} ^{n}$ יוצרת מרחב וקטורי, המסומן $C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ או $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ .

לפונקציות בליטה יש חשיבות תאורטית בהדגמת פונקציות חלקות שאינן אנליטיות, וכן ביישומים שונים כמו יצירת מעבר "חלק" בין שתי מפלסים שונים. התנהגותן של פונקציות בליטה שונה מזו של מרבית הפונקציות האלמנטריות הסטנדרטיות (ואלו כוללות גם פונקציות טרנסצנדנטיות כמו האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות), שוני הנובע בבסיסו מכך שהתומך של פונקציות סטנדרטיות אלו אינו קומפקטי (כלומר אינו סגור וחסום).

דוגמאות

הפונקציה $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ הנתונה על ידי:

\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

היא דוגמה לפונקציית בליטה בממד אחד. ברור מאופן הבנייה שלה שלפונקציה זו תומך קומפקטי, שכן לפונקציה על הישר הממשי יש תומך קומפקטי אם ורק אם התומך שלה מוכל במלואו בקבוצה סגורה וחסומה. חלקות הפונקציה נובעת מכך שהיא מוגדרת כפונקציה מעריכית עם מעריך המהווה פונקציה חלקה בקטע הפתוח $(-1,1)$ , ולכן האקספוננט כולו חלק בעצמו. פונקציית זאת ניתנת לפירוש במובן מסוים גם כשינוי קנה מידה של הפונקציה הגאוסיאנית $\exp \left(-y^{2}\right)$ הנעשה באופן כזה שהפונקציה תיכנס במלואה בדיסק היחידה: ההצבה $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ שולחת את $x=\pm 1$ ל- $y=\infty$ . ככל פונקציות הבליטה, פונקציה זו אינה אנליטית, שכן כל נגזרותיה מחוץ לקטע $(-1,1)$ מתאפסות, ולכן פיתוח טיילור של הפונקציה סביב נקודה מחוץ לקטע זה אינו מתכנס אל הפונקציה בכל הישר הממשי.