פונקציה ממעלה שלישית

פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה $ y=f(x) $ , כאשר $ f $ הוא פולינום ממעלה שלישית:

$ {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} $

נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה):

$ f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=0 $

לכן יש נקודות קיצון אם ורק אם $ b^{2}>3ac $ . לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה $ x=-{\frac {b}{3a}} $ ; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צדיה של נקודת הפיתול. גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה $ 2{\sqrt {b^{2}-3ac}} $ . את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: $ f(x)=0 $ .

צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל $ a $ , וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון. על ידי החלפת משתנים לינארית של $ x $ ושל $ y $ (כלומר הצבת ביטוי מהצורה $ Ax+B $ במקום $ x $ וביטוי מהצורה $ Cy+D $ במקום $ y $), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות $ y=x^{3}+x $ (אין נקודות קיצון), $ y=x^{3}-x $ (שתי נקודות קיצון) ו־$ y=x^{3} $ (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).

ראו גם

• משוואה ממעלה שלישית
• עקום אליפטי (מתקבל מן המשוואה: $ f(x)^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d $ ; כלומר, השורש של פונקציה ממעלה שלישית)