פונקציה ממעלה שלישית

פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה $y=f(x)$ , כאשר $f$ הוא פולינום ממעלה שלישית:

$$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$$

נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה):

$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=0$

לכן יש נקודות קיצון אם ורק אם $b^{2}>3ac$ . לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה $x=-{\frac {b}{3a}}$ ; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צדיה של נקודת הפיתול. גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה $2{\sqrt {b^{2}-3ac}}$ . את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: $f(x)=0$ .

צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל $a$ , וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון. על ידי החלפת משתנים לינארית של $x$ ושל $y$ (כלומר הצבת ביטוי מהצורה $Ax+B$ במקום $x$ וביטוי מהצורה $Cy+D$ במקום $y$), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות $y=x^{3}+x$ (אין נקודות קיצון), $y=x^{3}-x$ (שתי נקודות קיצון) ו־$y=x^{3}$ (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).

ראו גם

• משוואה ממעלה שלישית
• עקום אליפטי (מתקבל מן המשוואה: $f(x)^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ; כלומר, השורש של פונקציה ממעלה שלישית)