פוטנציאל גראנד קנוני

הפוטנציאל הגראנד קנוני הוא פוטנציאל תרמודינמי, המאפיין מערכת המצומדת לאמבט חום ואמבט חלקיקים. הוא מתאר את סך האנרגיה הזמינה שיש למערכת. המשתנים הטבעיים הם הטמפרטורה $T$ , נפח $V$ והפוטנציאלים הכימיים $\mu _{i}$ . כלומר גדלים אלו לא משתנים בתהליך תרמודינמי המתרחש במערכת זו.

פוטנציאל זה מתקבל כאשר מבצעים התמרת לז'נדר על האנרגיה הפנימית כך שהטמפרטורה והפוטנציאלים הכימיים הופכים למשתנים הנשלטים במקום האנטרופיה ומספר החלקיקים.

הפוטנציאל הגראנד קנוני מסומן באות $\Phi$ ומוגדר על ידי

$\Phi (T,V,\{\mu _{i}\})=U-TS-\sum _{i}{\mu _{i}N_{i}}\,$

כאשר

$U$ היא האנרגיה הפנימית של המערכת
$S$ היא האנטרופיה של המערכת
$N_{i}$ הוא מספר החלקיקים המתאים לפוטנציאל הכימי $\mu _{i}$

הדיפרנציאל המתקבל עבור הפוטנציאל הגראנד קנוני הוא

d\Phi =dU-d(TS)-d(\sum _{i}{dN_{i}d\mu _{i}})=-SdT-PdV-\sum _{i}{N_{i}d\mu _{i}}

ממנו ניתן לזהות את הנגזרות החלקיות:

S=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu _{i}}

P=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial V}}\right)_{T,\mu _{i}}

N_{i}=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu _{i}}}\right)_{T,V}

במכניקה סטטיסטית הפוטנציאל הגראנד קנוני שימושי בעבודה עם הצבר הגראנד-קנוני, בו המערכת יכולה להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום, והיא פונקציית המצב האופיינית לצבר זה. הביטוי לפוטנציאל זה נתון על ידי הקשר הבא:

\Phi =-k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}

.

כאשר

$k_{B}$ הוא קבוע בולצמן
${\mathcal {Z}}$ היא פונקציית החלוקה הגראנד קנונית אשר מוגדרת כך: ${\mathcal {Z}}=\sum _{N}\sum _{s}e^{\beta (\mu N-\varepsilon _{s})}$ . כאשר $s$ הוא מצב מיקרוסקופי של המערכת.