עקרון המחיקה של לנדואר

עקרון המחיקה של לנדואר (או בקיצור עקרון לנדואר, באנגלית: Landauer's principle) הוא עקרון פיזיקלי בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה, המצביע על קיומו של חסם תחתון לאנרגיה שיכולה להשתחרר תוך כדי ביצוע תהליך לא הפיך על האינפורמציה של מערכת פיזיקלית. בצורה יותר ספציפית, הטענה היא שכל מהלך לא הפיך שנעשה על אינפורמציה של מערכת - בין היתר מחיקת ביט של אינפורמציה (ומכאן שמו - "עקרון המחיקה") אך גם תהליכים נוספים כמו רשימת ערך חדש על ביט קיים ללא קשר לערכו הקודם או מיזוג של שני תאים לתא אחד, יגרור עליה כלשהי באנטרופיה של הסביבה שאינה יכולה לרדת מערך מינימלי חיובי כלשהו.

עקרון לנדואר תואר לראשונה בקצרה על ידי הפיזיקאי רולף לנדואר במאמר שלו משנת 1961, שם תיאר מערכת פיזיקלית פשוטה שביצוע מחיקה של חלק מהאינפורמציה שבה יוצר חום מינימלי כלשהו, שכיום מכונה חסם לנדואר או גבול לנדואר. תוצאה זו נתמכה מספר פעמים על ידי מאמרים מאוחרים יותר ונחשבת כיום לקונצנזוס התקף במספר רב של מערכות חישוביות, אף על פי שבעת המודרנית חסם לנדואר לא מאתגר ממשית את היעילות האנרגטית של מחשבים מאחר שטמפרטורות נמוכות גבול זה קטן בכמה סדרי גודל מהחום האופייני הנפלט בחישובים סטנדרטיים.

לעקרון לנדואר יש מספר שימושים מרכזיים בקישור בין תורת האינפורמציה לתוצאות מוכרות בתרמודינמיקה. הוא מספק הסבר משכנע לתופעות תרמודינמיות מוכרת כמו השד של מקסוול ומנוע סילארד ומהווה גם כיום נושא מרכזי לדיון במגוון רחב של פורומים.

מבוא ואינטואיציה

אינפורמציה והאנטרופיה של שאנון

עם התפתחות המכניקה הסטטיסטית כפי שהיא מנוסחת בעת המודרנית תודות לפיזיקאים בולטים בתחום, ביניהם בולצמן, פלאנק, דביי ועוד רבים נוספים, נבע הרצון לתת פירוש אינטואיטיבי לחלק מהגדלים הפיזיקליים שהיא עוסקת בהם, ביניהם מושג האנטרופיה. כיום הקשר האדוק שיש בין אנטרופיה למספר המצבים האפשריים שמערכת יכולה לתפוס בתנאים נתונים, בין היתר לפי העובדה שמערכות סגורות עם אנרגיה קבועה (צבר מיקרוקנוני), האנטרופיה של המערכת מקיימת את הקשר הישיר -

$$S=k_{B}\ln \left(g\right)$$

כאשר $g$ פונקציית הריבוי של המערכת שנותנת את מספר המצבים המיקרוסקופיים המתאימים למצב מקרוסקופי נתון של מערכת עם אנרגיה ספציפית, $S$ האנטרופיה, ו - $k_{B}$ קבוע בולצמן. תוצאות דומות מוכללות יותר מתקבלות בצברים נוספים כפי שהראה בולצמן. לכן מקובל כיום לתאר אנטרופיה כגודל המתאר את כמות ה - ”סדר“ שיש למערכת, מאחר שבדר“כ ניתן לצפות שמערכות עם יותר סימטריות יימצאו נדירות יותר לעומת מערכות ”מבולגנות“ - עם פחות כללים שיגבילו את כמות האפשרויות הזמינות.

במקביל לאותו רעיון, עלתה סוגיה נוספת מצד אנשים שעסקו בתורת האינפורמציה דוגמת קלוד שאנון. נשאלה השאלה האם ניתן להצביע על קיומה של אנטרופיה שנובעת לא בהכרח מקשר ישיר למערכות פיזיקליות, אלא בצורה יותר כללית בתור גודל שיכול לאפיין בצורה דומה למסרים, ובפרט תמונות וסימולציות - שגם כן מחזיקות בתכונה דומה של קשר ישיר בין הריבוי של מצבים אפשריים לכמות הסדר שאפשר להגדיר לה. לשם כך נוצר הצורך להפוך את הדיון הנ“ל ליותר פורמלי במטרה לקשר בסופו של דבר בין שני סוגי האנטרופיות שניתן לדון עליהן.

מתוך מניע אינטואיטיבי שיובן בהמשך, שאנון הגדיר את האינפורמציה של קבלת ערך כלשהו $x$ מתוך דגימה של משתנה המקרי $X$ (או לייתר דיוק, לקבלת הודעה $x$ כלשהי) -

$$I_{X}\left(x\right)=I\left(X=x\right)\equiv -\log _{2}\left(P\left(X=x\right)\right)=\log _{2}\left({\frac {1}{P\left(X=x\right)}}\right)$$

כאשר $P\left(X=x\right)$ ההסתברות לקבל תוצאה $X=x$ ונהוג לקחת את הלוגריתם בבסיס 2 מאחר שבדר“כ רוצים למדוד את האינפורמציה ביחידות ביטים. מושג זה מתלכד מבחינה איכותית לפחות עם האינטואיציה של אינפורמציה - ככל שלמצב אפשרי כלשהו יש יותר סיכוי להימצא במערכת, הוא יימצא יותר פעמים, והאינפורמציה של המצב תשאף לאפס (“צריכה“ של פחות ביטים). בהמשך להיגיון זה ניתן להגדיר את המיצוע של כל האינפורמציות, בממוצע משוקלל כאשר כל אינפורמציה של מצב מגובית בהסתברות שלו. כך ניתן לקבל את האנטרופיה של שאנון -

$$H=\sum _{possible\,x}P\left(X=x\right)I_{X}\left(x\right)=-\sum _{possible\,x}P\left(X=x\right)\log _{2}\left(P\left(X=x\right)\right)$$

מושג זה מתלכד עם הצורה הכללית יותר של אנטרופיה - $S=-\sum P\left(x\right)\ln \left(P\left(x\right)\right)$ . למעשה, במקרים מסוימים נהוג לעבוד עם ההנחה של אדווין ג'יינס לפיה שתי האנטרופיות הנ“ל שקולות וצריך להתקיים עד כדי קבוע - $S=k_{B}H$ (כל עוד בוחרים נכונה את בסיס הלוגריתם באנטרופיית שאנון). מכאן למעשה ניתן להסיק את השקילות המלאה בצורה מבוססת, ועל מנת להשתמש בה בשביל לפתור מערכות דינמיות יש צורך בחידוד הקשר בין פעולות שונות שניתן לעשות על אינפורמציה - לתהליכים תרמודינמיים. נושא זה נחקר רבות גם בזמנים אלו.

ניסוח פורמלי

בשנת 1961 הפיזיקאי רולף לנדואר פרסם מאמר שבו סקר באופן מקיף תהליכים לא הפיכים באינפורמציה. הניסוי שהציע הוא כזה:

ניקח מערכת מבודדת שנמצאת בטמפרטורה קבועה $T$ (ניתן ליצור מערכת כזו על ידי צימוד למאגר חום גדול במיוחד), שיכולה להימצא אך ורק בשני מצבים אפשריים בהסתברות שווה, כלומר מבחינה איכותית היא מכילה ביט אחד של אינפורמציה. האנטרופיה של שאנון עבורה תנבא -

$$H_{i}=-P\left(x_{1}\right)\cdot \ln \left(P\left(x_{1}\right)\right)-P\left(x_{1}\right)\cdot \ln \left(P\left(x_{1}\right)\right)=-{\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1}{2}}\right)=\ln 2$$

כעת נבצע תהליך שמוחק אפקטיבית את אותו ביט. תהליך זה איננו הפיך, מאחר שהמחיקה נעשית באופן שבו לא ניתן לשחזר את המידע בשום דרך שהיא - אבל הוא לא יחיד, כלומר ישנם דרכים שונות להעביר את המערכת בתהליך הזה באמצעות שערים לוגיים שונים שהמשותף להם הוא שהם מבצעים מחיקה של אינפורמציה. לנדואר ספציפית החליט לעבוד עם הפעולה $SET\_TO\_1$ - לקיחה של ביט שיכול לקבל את הערכים 0 או 1 ומחזיר 1 ללא קשר לערך הביט. מבחינה פיזיקלית משמעות הפעולה הזאת היא הקרסת המערכת למצב נתון כלשהו ללא קשר למצבה הקודם. האנטרופיה של שאנון עבור מצב כזה היא מן הסתם $H_{f}=0$. לפי החוק השני של התרמודינמיקה האנטרופיה הכוללת של הצימוד בין הביט למאגר חייבת תמיד לעלות. לכן נגדיר $S_{bit}$ בתור האנטרופיה של תת-המערכת ”ביט בצימוד“ ו - $S_{res}$ האנטרופיה של מאגר החום, ומתקיים -

$$\Delta S_{bit}+\Delta S_{res}\geq 0$$

בהנחת שקילות האנטרופיות ניתן לטעון ש -

$$\Delta S_{bit}=k_{B}\Delta H_{bit}=k_{B}\left(H_{i}-H_{f}\right)=-k_{B}\ln 2$$

נציב באי השוויון ונציב את האנטרופיה של החום לפי נוסחת קלאוזיוס -

$$\Delta S_{bit}+\Delta S_{res}=-k_{B}\ln 2+{\frac {\Delta Q_{res}}{T}}\geq 0$$

כאשר $Q_{res}$ החום שנפלט ממחיקת הביט לסביבה והנחנו $T_{res}=T_{bit}$ מאחר שמאגר החום מאוד גדול ונמצא בשיווי משקל תרמי עם שאר המערכת. מכאן לאחר פישוט מתקבלת התוצאה -

$$\Delta Q_{res}\geq k_{B}T\ln 2$$

כלומר, כתוצאה מהמחיקה של האינפורמציה משתחרר חום לסביבה שלא יכול להיות קטן יותר מערך מינימלי כלשהו שתלוי ליניארית בטמפרטורה. גבול זה מכונה לעיתים גבול לנדואר או חסם לנדואר. נשים לב שמדובר בחסם תאורטי בלבד, והמהלך המחשבתי הזה לא מייצג בהכרח את הערך המינימלי שאפשר להגיע אליו במציאות. אם מציבים נתונים סטנדרטיים של חישוב בטמפרטורה של כ -$T=20\left[^{\circ }C\right]\approx 293.15\left[K\right]$ ניתן להעריך את הסביבה של המחשב כמאגר חום של טמפרטורת החדר והפיתוח תקף, כך שמתקיים -

$$\min \left(\Delta Q_{res}\right)=k_{B}T\ln 2=1.38\cdot 10^{-23}\cdot 293.15\cdot \ln 2\approx 2.8\cdot 10^{-21}\left[J\right]=0.017\left[eV\right]$$

חום כזה שנפלט לסביבה הוא קטן להפליא ביחס לכל סקאלה יומיומית, וקיים קושי רב למדוד פליטה כזאת בניסוי מבוקר. לצורך השוואה, אנרגיה זו קטנה בשני סדרי גודל מהאנרגיה שאלקטרון אחד צובר במעבר בין מפל מתחים של וולט אחד, ובעוד שמחשבים סטנדרטיים פולטים באנרגיות רחוקות בהרבה מגבול זה - הציפייה הרווחת היא שככל שמעבדים משתפרים מבחינה טכנולוגית והופכים לקטנים יותר, החום שייפלט מהם בעת ביצוע פעולות כאלו או אחרות יתקרב יותר ויותר לחסם המינימלי שמתחתיו לא ניתן יותר להשתפר מבחינת יעילות אנרגטית.

כמו כן, מאחר שהסיבה העיקרית לעלייה באנטרופיית הסביבה היא שהמחיקה יוצרת שינוי באינפורמציה של המערכת, המסקנה היחידה שיכולה להתבצע מהניסוי היא שרק פעולות לא הפיכות לאינפורמציה מצייתות לחסם אנרגיה כלשהו מסוג זה. כתוצאה מכך התעורר דיון נרחב על האופי של תהליכים כלליים מבחינה אנרגטית, והסברה המתבקשת מעקרון המחיקה של לנדואר היא שתהליכים הפיכים, כגון צבירת מידע חדש - כלומר העתקה של מידע ממקום אחד לאחר, לא נושאים בתוכם חסם אנרגטי ומבחינה תאורטית לא חייבים בפליטת חום לסביבה.

קשר לשד של מקסוול

ערך מורחב – השד של מקסוול

אחד השימושים המרכזיים והמפורסמים ביותר לעקרון לנדואר הוא הוכחה לסתירה הפנימית שיש בפרדוקס השד של מקסוול. בשנת 1982 פרסם הפיזיקאי צ'ארלס בנט מאמר שלם המכיל סקירה מקיפה של השד של מקסוול והציע דרך אפשרית לתקוף את הסוגיה על ידי שימוש בחסם לנדואר על המערכת המוצגת בבעיה.

בנט הביט בפירוש המקובל של מערכת השד של מקסוול הסטנדרטית (פרשנויות דומות הן שקולות לצורך הפיתוח), לפיו נתונה מערכת סגורה ומבודדת עם מחיצה באמצעו שאטומה למעבר חום וחלקיקים, החוסמת משני צדדיה גז כלשהו. מציבים ”שד“ בסמוך למערכת שמסוגל למדוד את כל המיקומים והמהירויות של כל חלקיק וחלקיק בגז ומסוגל לייצר פתח רגעי בכל מיקום על המחיצה ובכל זמן ולהשתמש בו כדי לאפשר רק לחלקיקים עם מהירות מעל הממוצע לעבור לצד ימין וחלקיקים עם מהירות מתחת לממוצע לעבור לצד שמאל של התיבה, כאּשר הפרדוקס הוא שבתהליך שכביכול לא דרש השקעת עבודה מצד השד, האנטרופיה של המערכת המבודדת קטנה - בסתירה להנחת החוק השני של התרמודינמיקה .

הגישה המקובלת לפתור את הפרדוקס באותה תקופה היה ללא שימוש בתכונות האינפורמטיביות שיש לשד בניסוי, ובמקום זאת טענו מפורשות שהשד מוכרח להשקיע אנרגיה בכל פעם שהוא מודד את מולקולות הגז, ואנרגיה זו מתבטאת בביצוע עבודה על המערכת. תירוצים נוספים דרשו לקחת בחשבון את העובדה שמודל המדידה של המערכת לא מובהר דיו, וכדי לתת פתרון מלא יש צורך בפורמליזציה של דרישות על הדרך שבה השד פותח את המחיצה בכל פעם, הדרך שבה הוא מודד את המולקולות ולהתחשב בהשפעה של החור שנפתח רגעית בכל פעם והעובדה שיש לו גודל סופי שלא בהכרח יכול להעביר מולקולה אחת בכל מצב אפשרי של הגז. בנט בחר להסתכל מזווית אחרת על הבעיה, ולתקוף ספציפית את העובדה שעל מנת שהתהליך יתבצע - לשד חייבת להיות "אינטליגנציה" שמאפשרת לו למדוד את המולקולות, בטענה שניתן בסופו של דבר למפות את אותה אינטליגנציה לכך שלשד חייב להיות לפחות באופן אפקטיבי - ”תא זיכרון“ כלשהו, שבו הוא מאחסן את כל הידע על המדידות של המולקולות בכל איטרציה של הניסוי, שניתן למפות לאינפורמציה שיש לו על המערכת. התהליך של צבירת האינפורמציה והאחסון שלה בתא של השד הוא תהליך הפיך מבחינה לוגית - ולכן לפי לנדואר היא יכולה לפחות מבחינה תאורטית להתבצע ללא עלייה באנטרופיה וללא פליטת חום לסביבה. לעומת זאת, מאחר שהשד לא יכול להמשיך ולאגור אינפורמציה לנצח מאחר שההנחה היא שהשד הוא סופי וחייב לאכלס תא זיכרון סופי, השד חייב למחוק את האינפורמציה על הגז לאחר שהוא משתמש בה על מנת לפנות מקום לעוד אינפורמציה. התהליך של מחיקת האינפורמציה הזאת מתא הזיכרון כן עולה בפליטת חום לסביבה, ולכן בעלייה באנטרופיה וביצוע עבודה על המערכת - ובכך הפרדוקס נפתר. שיטתו של בנט זכתה לתמיכה ונחשבת כיום לתירוץ קביל לבעיית השד של מקסוול.

עקרון לנדואר משמש בצורה דומה על מנת לנתח מערכות פיזיקליות דומות ובהן מנוע סילארד - מנוע הבנוי מקופסה המכילה חלקיק אחד, שניתן להציב מחוצה לה ”שד“ שמודד בכל שלב את מיקום החלקיק בקופסה ומשתמש בידע על מנת להציב מצידו השני מחיצה שתידחף הצידה כתוצאה מהפרש הלחצים בין שני חצאי הקופסה - ומכאן שהמחיצה תבצע עבודה, בסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה, שכן התהליך של מציאת החלקיק לכאורה לא דורש עבודה. השימוש בעקרון לנדואר על טיעון זה גורר שאין הדבר כן, ומאחר וזיכרון השד סופי עליו לבצע בכל שלב של האיטרציה מחיקה של הזיכרון הקודם - שתדרוש עלייה באנטרופיה ומכאן ביצוע עבודה. למעשה, ניתן לייצג בכל שלב את הפעולה של השד בתור מחיקה של ביט אחד בדיוק של אינפורמציה, זאת מאחר שהמידע המינימלי הנחוץ לאיטרציה ספציפית הוא הידיעה באיזה צד של הקופסה נמצא החלקיק, כלומר קיימות אך ורק שתי אפשרויות לאינפורמציה. אם מניחים ששתי האפשרויות זמינות בהסתברות שווה (ניתן להכליל בקלות ל - $p,1-p$ בהתאמה), אזי העבודה שתושקע בכל איטרציה תהיה זהה לזו שמתקיימת בפיתוח הקודם ותקיים - $W_{dem}\geq k_{B}T\ln 2$ ובהנחת התפשטות איזותרמית של הגז וטמפרטורה קבועה $T$ של המערכת, הגז יקיים תחת אותו תהליך -

$$W_{gas}=k_{B}T\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)=k_{B}T\ln \left({\frac {V_{f}}{0.5V}}\right)\leq k_{B}T\ln \left({\frac {V}{0.5V}}\right)=k_{B}T\ln 2$$

זאת מאחר שהעבודה המקסימלית שתתבצע בתהליך היא דחיפה של המחיצה עד לקצה השני של הקופסה - בהנחה שהמחיצה תמיד מוצבת באמצע הקופסה בתחילת כל איטרציה. העבודה שהשד מקבל בתמורה להשקעה של עבודה שנמצאת תמיד מעל גבול לנדואר גוררת לפיכך עבודה שתימצא תמיד מתחת לגבול לנדואר. במקרה הטוב ביותר, העבודה שמושקעת לתהליך היא גם העבודה שמתקבלת ובכל מקרה אחר היא גדולה יותר - ולכן הפרדוקס נפתר.

התקדמויות נוספות

התוצאה שהראה לנדואר זכתה לתמיכה מצד מאמרים מסוימים, והופרכה חלקית במספר מאמרים אחרים.

בשנת 1999 פרסמו צמד החוקרים ג'ון ארמן וג'ון ד. נורטון מאמר ובו התנגדו חרוצות לשימוש בעקרון לנדואר על מנת לתרץ בעיות דמויות השד של מקסוול, בטענה שמערכות תרמודינמיות כאלו ניתנות לפתרון ללא שימוש כלל בחישובים הכוללים אינפורמציה. לטענתם,ההנחה שסיבת הכישלון של המערכת קשורה בכשל אינפורמטיבי אינטרינזי כלשהו, שקיים לה גורע מהיכולת להסביר אותה.

בשנת 2003 פרסם בנט מאמר ובו הוא מחדד עקרונות פורמליים בעקרון לנדואר ותוקף מספר טענות מרכזיות של פיזיקאים, וביניהם ארמן ונורטון, שטענו לחוסר הרלוונטיות של עקרון לנדואר בעת המודרנית, בין אם מכיוון שממילא לא ניתן להתקרב אליו מבחינה מעשית ובין אם לטענתם גם תהליכים לא הפיכים יכולים להתבצע באופן שבו לא תושקע אנרגיה. לטענת בנט, עקרון לנדואר דורש שיפור מבחינת הניסוח המדויק וכמו כן מחקר תאורטי נוסף בנושא מציאת החסם המדויק והמקרים בהם הוא תקף. החשיבות המודרנית של עקרון זה היא ”פדגוגית בלבד“, במטרה להציג את הרעיון בתור מודל מעוגל שבא להדגיש את ההבדל המהותי שיש בין תהליכים לוגיים הפיכים ללא הפיכים.

בשנת 2011 פרסמו זוג חוקרים מאוניברסיטת סטארטקלייד מאמר ובו תוצאה שהפריכה חלקית את הטענה של לנדואר. לטענתם, תחת אותם תהליכים לא הפיכים לוגית האנטרופיה אכן עולה אך האנרגיה לא בהכרח עולה כתוצאה ישירה מכך כפי שסבר לנדואר. במקום פליטת חום לסביבה, האנטרופיה הנוספת יכולה מבחינה תאורטית באותה מידה לגרור שינוי בגודל התנע הזוויתי של החלקיקים במערכת, ובאופן כללי בכל גודל שמור אחר שלה. פליטת אנרגיה, לפי מסקנה זו, היא מקרה פרטי של התוצאה המוכללת.

בשנת 2012 נעשה ניסיון מצד חוקרים לאשר את עקרון לנדואר באמצעות חיקוי פיזיקלי של הפעולה המקורית שחקר לנדואר. החוקרים הציבו ביט אינפורמציה בפוטנציאל עם שתי נקודות מינימום בעזרת שיטות אופטיות ושינו את הפוטנציאל באמצעות לייזר במטרה להסיר את ההפרדה בין שני המצבים ובכך לבצע מחיקה של האינפורמציה. בניסוי נמדדו בהצלחה כמויות מזעריות של חום ששוחרר בתהליך.

בשנת 2014 פרסמה קבוצת חוקרים מאמר נוסף שבו אישרו פעם נוספת את אמיתות קיומו של חסם לנדואר.

באותה שנה, פורסם מאמר מצד חוקר באוניברסיטת טוקיו שבו נעשה שימוש בהתקדמויות אחרונות בתחום של מכניקה סטטיסטית מחוץ לשיווי משקל על מנת לסתור חלקית את אחת ההנחות שלנדואר השתמש בהן בפיתוחיו, והיא שכל תהליך לא הפיך לאינפורמציה של המערכת הוא גם לא הפיך מבחינה תרמודינמית. לטענתם, תהליכים יכולים להיות לא הפיכים לוגית אך הפיכים תרמודינמית, ובאותה מידה יכולים גם להתקיים תהליכים הפיכים לוגית אך לא תרמודינמית. לכן כתוצאה מכך, קיימים בהכרח תהליכים שהאנטרופיה בהם נשארת קבועה (כתוצאה מההפיכות התרמודינמית), ולכן ביצוע התהליך הלא הפיך לאינפורמציה שלה - לא יגרום לעלייה באנטרופיה ולפליטת חום, בסתירה לעקרון לנדואר.

בשנת 2016 פרסמה קבוצת חוקרים מאמר שבו אישרו בשנית את קיומו של חסם האנרגיה על ידי שימוש בלייזר על מנת למדוד פליטות אנרגיות מזעריות כתוצאה פעולות שנעשו על ננומגנטיים בודדים דמויי ביטים.

בשנת 2018 נעשה ניסיון נוסף מצד חוקרים באוניברסיטת קיוטו להרחיב את הפרשנות של חסם לנדואר לתורת הקוונטים על ידי שימוש בננו-מגנטים מולקולריים כמערכות בעלות אינפורמציה אפקטיבית. התוצאות הצביעו על קיום של חסם אנרגטי, בהתאמה למקרה הקלאסי.

ראו גם

• השד של מקסוול
• תורת האינפורמציה
• אנטרופיה בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29318861עקרון המחיקה של לנדואר