עקומת בודה

עקומת בודה היא דרך להצגת פונקציית תמסורת כנגד התדירות, כאשר התדירות מוצגת בציר האופקי בסקאלה לוגריתמית. פונקציית התמסורת היא לרוב פונקציה מרוכבת ולכן ההצגה היא לרוב באמצעות שתי עקומות: עקומת הגבר ועקומת מופע (או פאזה), שיחד מרכיבות את תגובת התדר של המערכת.

עקום ההגבר הוא גרף של הגבר עוצמת המתח בדציבלים - לוגריתם הערך המוחלט של פונקציית התמסורת מוכפל ב-20, כנגד התדר בסקאלה לוגריתמית. זהו ריבוע היחס בין משרעת מוצא המערכת לבין משרעת הכניסה בזרם חילופין בדציבלים כתלות בתדירות.

עקום המופע הוא הפרש המופע בין המוצא לכניסה כתלות בתדירות (גם כן בסקאלה לוגריתמים), והיא לרוב מופיעה תחת עקום ההגבר באותו קנה מידה.

עקומת בודה משמשת לתיאור תגובת התדר של מסננים ושל מערכות משוב. מאחר שההגבר מוצג בדציבלים, מחוקי לוגריתמים נובע שהן עקום ההגבר והן עקום המופע ליניאריים למקוטעין, כאשר השינויים בשיפוע מתרחשים סביב קטבים ואפסים של פונקציית התמסורת. תדרים אלה נקראים תדרי ברך. עקומת בודה אסימפטוטית היא עקומה המשורטטת כליניארית למקוטעין, ועקומה המייצגת את תגובת התדר המדויקת נקראת עקומת בודה מתוקנת.

שרטוט עקומת בודה

ניתן לכתוב את פונקציית התמסורת של רוב המערכות הליניאריות בצורה:

H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

כאשר $\ s=j\omega$ הוא המשתנה של התמרת לפלס ( $\ \omega$ התדירות הזוויתית), $\ x_{n}$ ו- $\ y_{n}$ האפסים והקטבים בהתאמה, $\ a_{n}$ ו- $\ b_{n}$ מספרים טבעיים ו- $\ A$ קבוע.

הפעלת לוגריתם על שני אגפי המשוואה נותנת סכום של הקטבים והאפסים:

\log(H(s))=\log(A)+\sum a_{n}\log(s+x_{n})-\sum b_{n}\log(s+y_{n})

עקומת ההגבר האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס ( $\omega =x_{n}$ ) ישנה עלייה בשיפוע של $20\cdot a_{n}$ דציבל לדקאדה, ובכל קוטב ( $\ \omega =y_{n}$ ) ישנה ירידה בשיפוע של $20\cdot b_{n}$ דציבל לדקאדה. ההגבהה של הגרף תלויה ב- $\ A$ וניתן לחשב אותה על ידי הצבת התדירות הזוויתית ההתחלתית ב- $\ |{H(j\omega )}|$ .

עקומת ההגבר המתוקנת עוברת $3\cdot a_{n}\mathrm {dB}$ מעל העקומה האסימפטוטית בכל אפס ו- $3\cdot b_{n}\mathrm {dB}$ מתחת לעקומה האסימפטוטית בכל קוטב.

עקומת המופע מתחילה מהזווית של A בהצגה קוטבית בהמישור המרוכב. אם A ממשי וחיובי מתחילה העקומה מ-0 ואם הוא שלילי היא מתחילה מ-180 מעלות. עקומת המופע האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס יציב ( $\ \omega =x_{n},Re(x_{n})>0$ ) ישנה עלייה בשיפוע של $45\cdot a_{n}$ מעלות לדקאדה, ובכל קוטב ( $\ \omega =y_{n},Re(y_{n})>0$ ) ישנה ירידה בשיפוע של $45\cdot b_{n}$ מעלות לדקאדה. עבור קטבים ואפסים בלתי יציבים, השינוי הוא הפוך. השינוי בשיפוע מתחיל דקאדה אחת לפני הקוטב או האפס ומסתיים דקאדה אחת אחריו, כך שכל שינוי הוא של 90 מעלות.