סדרת סילבסטר
סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה $ \ s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1 $, כאשר $ \ s_{1}=2 $. הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.
בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס $ \ s_{n}=1+\prod _{i=1}^{n-1}s_{i} $, וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.
חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית $ \ {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}=1 $ בנעלמים $ \ 0<x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n} $, עבור $ \ n $ טבעי כלשהו, הפתרון שבו $ \ x_{n} $ הוא הגדול ביותר מתקבל מ- $ \ n $ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה $ \ {\frac {1}{s_{1}}}+\dots +{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n}-1}}=1 $. בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.
לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן $ \ {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{42}}=1 $.
קישורים חיצוניים
- סדרת סילבסטר, באתר MathWorld (באנגלית)
- סדרת מספרי סילבסטר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
סדרת סילבסטר29819881Q2293800