חוק בייס

חוק בייס (או: נוסחת בייס; באנגלית: Bayes' Theorem) הוא תוצאה בתורת ההסתברות המאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים את ההסתברויות המותנות ההפוכות. הוא נוסח על ידי המתמטיקאי האנגלי תומאס בייס, במאמרו "מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים" (Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances), אשר פורסם ב-1764, לאחר מותו של בייס.

ניסוח פורמלי

"ההסתברות המותנית של מאורע A בהינתן מאורע B" היא הסיכוי להתרחשותו של A, בהנחה ש- B אכן התרחש. קיום ההנחה מצמצם את מרחב המדגם. מרעיון זה נובעת הנוסחה להסתברות המותנית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}} .

חוק בייס מאפשר לחשב את ההסתברות המותנית ההפוכה: ההסתברות המותנית של B בהינתן A:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}} .

ניסוח אחר למשפט: אם $\left\{B_{i}\right\}_{i\in K}$ חלוקה של מרחב המדגם, שבה לכל אחד מהחלקים הסתברות חיובית, אז לכל מאורע A בעל הסתברות חיובית ולכל k, מתקיים:

$P(B_{k}|A)={\frac {P(A|B_{k})P(B_{k})}{\sum _{i}P(A|B_{i})P(B_{i})}}$.

ניסוח זה נובע ישירות מהניסוח הראשון בשילוב עם נוסחת ההסתברות השלמה.

דוגמה

במדינה מסוימת יש שתי קופות חולים; 75% מהתושבים חברים בגדולה מבין השתיים, והשאר בקטנה. סקרי שביעות רצון העלו ש-90% מן החברים בקופת החולים הקטנה מרוצים מן הקופה, בעוד שרק 80% מהחברים בקופת החולים הגדולה מרוצים ממנה. על-כן מפרסמת החברה הקטנה מודעות ענק שלפיהן "אם אתם מרוצים, כנראה שאתם חברים שלנו". חוק בייס מאפשר לבחון את נכונות הטענה:

לצורך הדוגמה, קבוצת האנשים בעלי התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה" תסומן ב-S, והקבוצה המשלימה ("האדם חבר בקופה הגדולה") תסומן ב-$\ S^{c}$, ואם כן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(S) = 0.25} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(S^{c}) = 0.75} . כמו כן, התכונה "האדם מרוצה" תסומן ב-H. לפי הסקר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(H|S) = 0.9} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(H|S^c) = 0.8} . לפי נוסחת ההסתברות השלמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(H) = P(H|S) P(S) + P(H|S^c) P(S^c) = 0.9\cdot 0.25 + 0.8 \cdot 0.75 = 0.825} . לכן, הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(S|H) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)} = \frac{P(H|S)P(S)}{P(H)} = \frac{0.9 \cdot 0.25}{0.825} \approx 0.273} .

אם כן, טענת הפרסומת שקרית: אם אדם מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה. באופן דומה, ניתן להראות שגם אם הוא לא מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה.

ראו גם

• הסתברות
• הסתברות מותנית
• רשת בייסיאנית

קישורים חיצוניים

• "An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances": המאמר המקורי כפי שפורסם לאחר מותו של תומאס בייס בכתב העת Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
• יוסי לוי, הכוכב, הסמים והכומר - סקירה של משפט בייס, באתר "נסיכת המדעים"