נוסחת אוילר-רודריגס

במתמטיקה ובמכניקה, נוסחת אוילר – רודריגס מתארת סיבוב של וקטור במרחב תלת־ממדי. הוא מבוסס על נוסחת הסיבוב של רודריגס, אך משתמש בפרמטריזציה אחרת.

הסיבוב מתואר על ידי ארבעה פרמטרי אוילר שיצר לאונרד אוילר .

נוסחת הסיבוב של רודריגס (על שם אולינדה רודריגס), היא שיטה לחישוב המיקום של נקודה המסתובבת, השיטה משומשת ביישומי תוכנה מסוימים, כגון סימולטורים של טיסה ומשחקי מחשב .

הַגדָרָה

סיבוב סביב המקור מיוצג על ידי ארבעה מספרים ממשיים, a, b, c, d כך ש-

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.$

כאשר הסיבוב מוחל, נקודה במיקום ${\vec {x}}$ מסתובבת למיקומה החדש,

${\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.$

ניסוח וקטורי

ניתן לקרוא לפרמטר a פרמטר סקלרי ול- ${\vec {w}}{=}(b,c,d)$ הפרמטר הווקטורי . בסימון הווקטור הסטנדרטי, נוסחת הסיבוב של רודריגס לובשת את הצורה הקומפקטית^{[דרוש מקור]}.

${\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)$

סִימֶטרִיָה

הפרמטרים (a, b, c, d) ו- (−a, −b, −c, −d) מתארים את אותו סיבוב. מלבד סימטריה זו, כל קבוצה שונה של ארבעה פרמטרים מתארת סיבוב ייחודי במרחב התלת־ממדי.

הרכבת סיבובים

ההרכב של שני סיבובים הוא עצמו סיבוב. יהי (a₁, b₁, c₁, d₁) ו- (a₂, b₂, c₂, d₂) שני סיבובים המורכבים מהפרמטרים של אוילר. הפרמטרים של סיבוב ההרכבה (סיבוב 2 לאחר סיבוב 1) הם כדלקמן:

${\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}$

זה פשוט, אם כי מייגע, לבדוק ש- a² + b² + c² + d² = 1 . (זו בעצם זהות ארבעת הריבועים של אוילר .)

זווית סיבוב וציר הסיבוב

כל סיבוב מרכזי בתלת מימד נקבע באופן ייחודי על ידי ציר הסיבוב שלו (מיוצג על ידי וקטור יחידה ${\vec {k}}{=}(k_{x},k_{y},k_{z})$ ) וזווית הסיבוב φ . הפרמטרים של אוילר עבור סיבוב זה מחושבים באופן הבא:

${\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}$

שימו לב שאם φ גדל בסיבוב מלא של 360 מעלות, הטיעונים של סינוס וקוסינוס גדלים רק ב-180 מעלות. הפרמטרים המתקבלים הם הפוכים מהערכים המקוריים, (−a, −b, −c, −d) ; ולכן הם מייצגים את אותו סיבוב.

בפרט, טרנספורמציה של הזהות (סיבוב אפס, φ = 0 ) תואמת לערכי פרמטר (a, b, c, d) = (±1, 0, 0, 0) . סיבובים של 180 מעלות סביב כל ציר מביאים ל- a = 0 .

ראו גם

• פורמליזם של סיבוב בתלת מימד
• קווטרניונים וסיבוב מרחבי
• ורסור
• ספינורים בתלת מימד
• SO(4)
• קבוצת סיבוב תלת מימד
• דגם Beltrami–Klein (דגם Cayley–Klein)
• מדד Cayley–Klein
• זהות ארבעת הריבועים של אוילר

לקריאה נוספת

• Cartan, Élie (1981). The Theory of Spinors. Dover. ISBN 0-486-64070-1.
• Hamilton, W. R. (1899). Elements of Quaternions. Cambridge University Press.
• Haug, E.J. (1984). Computer-Aided Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics. Springer-Verlag.
• Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, M. E. (ביוני 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" (PDF). Revista Mexicana de Física (בספרדית): 109–113. אורכב מ-המקור (pdf) ב-2012-04-23. {{cite journal}}: (עזרה)
• Shuster, Malcolm D. (1993). "A Survey of Attitude Representations" (PDF). Journal of the Astronautical Sciences (באנגלית). 41 (4): 439–517.
• Dai, Jian S. (באוקטובר 2015). "Euler–Rodrigues formula variations, quaternion conjugation and intrinsic connections". Mechanism and Machine Theory (באנגלית). 92: 144–152. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004. {{cite journal}}: (עזרה)

הערות שוליים

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים במכלול שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "נוסחת אוילר-רודריגס".

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת אוילר-רודריגס40250456Q5409009