באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרשוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי-אמריקאי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר קונדרשוב.
ניסוח המשפט
תהי
קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי
.
נגדיר
.
אזי מרחב הסובולב
ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp
ולשיכון קומפקטי במרחב
לכל
.
כלומר,
וגם
.
תוצאות
היות ששיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרשוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב
קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב
. המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרשוב.
משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה[1] לפיו לכל
(כאשר
עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:
![{\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae2f88c448a769d2823a88c46d65c6591c04a7c)
כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של
וכן
![{\displaystyle u_{\Omega }{\overset {\mbox{def}}{=}}{\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb380b61456d9d4411e1530010063867a3d79a4)
הוא הערך הממוצע של u בתחום
.
הערות שוליים
- ^ Evans, Lawrence C. (2010). "§5.8.1". Differential Equations, Partial (2nd ed.). p. 290. ISBN 0-8218-4974-3.
30647631משפט רליך-קונדרשוב