משפט רליך-קונדרשוב
באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרשוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי-אמריקאי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר קונדרשוב.
ניסוח המשפט
תהי $ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} $ קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי $ 1\leq p<n $.
נגדיר $ p^{*}={\frac {np}{n-p}} $.
אזי מרחב הסובולב $ W^{1,p}(\Omega ) $ ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp $ L^{P^{*}}(\Omega ) $ ולשיכון קומפקטי במרחב $ L^{q}(\Omega ) $ לכל $ 1\leq q\leq p^{*} $.
כלומר, $ W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega ) $ וגם $ 1\leq q<p^{*}\implies W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ) $.
תוצאות
היות ששיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרשוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב $ W^{1,p}(\Omega ) $ קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב $ L^{q}(\Omega ) $. המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרשוב.
משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה[1] לפיו לכל $ u\in W^{1,p}(\Omega ) $ (כאשר $ \Omega $ עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:
$ {\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}} $
כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של $ \Omega $ וכן
- $ u_{\Omega }{\overset {\mbox{def}}{=}}{\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x $
הוא הערך הממוצע של u בתחום $ \Omega $.
הערות שוליים
- ↑ Evans, Lawrence C. (2010). "§5.8.1". Differential Equations, Partial (2nd ed.). p. 290. ISBN 0-8218-4974-3.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] משפט רליך-קונדרשוב30647631