משפט קוקס

משפט קוקס (באנגלית: Cox's theorem) נקראת על שמו של הפיזיקאי ריצ'רד טרקלד קוקס (באנגלית: Richard Threlkeld Cox). משפט קוקס נגזרת מהיסקים המבוססים על חוקי תורת ההסתברות, תחת הנחות מסוימות. ההנחות הנ"ל הן אקסיומות. המשפט מצדיק פירושים "לוגיים" של הסתברות. החוקים של המשפט מתאימים לייחוס הסתברויות למכלול רחב של בעיות סטטיסטיות. הסתברות לוגית, על פי קוקס, היא סוג של הסתברות בייסיאנית.

ההנחות של משפט קוקס

משפט קוקס מבוססת על ההנחות הבאות:

1. הסבירות של נכונות טענה ניתנת ליצוג באמצעות מספר ממשי. היא מבוססת על מידע הקשור לטענה.
2. שכל ישר - סבירויות ישתנו על פי השכל הישר של סבירויות המודל
3. עקביות - אם יש דרכים שונות להערכת סבירות טענה, תוצאות כל הדרכים צריכות להיות שוות.

המשפט מנוסח לעיל כפי שנוסחה על ידי Arnborg וSjödin. המשפט כפי שנוסח במקור על ידי קוקס מנוסח באופן מתמטי יותר מהניסוח לעיל, אבל אינו מנוסחת באופן מדויק מבחינה מתמטית, אבל ניתן להוכיח אותו באופן מתמטי אם מוסיפים הנחות בהן השתמש קוקס באופן מרומז או באופן גלוי.

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס הן:

• ההסתברות של נכונות טענה קובעת את ההסתברות של שלילת הטענה. כשההסתברות של הטענה גדלה ההסתברות של שלילת הטענה קטנה. כשההסתברות של שלילת הטענה גדלה ההסתברות של הטענה קטנה. המשוואה הנגזרת מכך היא: $f(f(x))=x\,$
• הסבירות של האיחוד [A & B] של שתי טענות A ו-B תלויה רק בסבירות של טענה B וסבירות של A בהינתן ש-B נכונה. מה הסיק קוקס שאיחוד של סבירויות הוא אסוציאטיבי. בניסוח מתמטי: $P(A\ {\mbox{and}}\ B)=g(P(A),P(B|A))$ כאשר g היא פונקציה המבוססת על אופרציה בינארית אסוציאטיבית של A ו-B.
• נניח ש [A & B] שווה ערך ל [C & D]. אם נקבל מידע חדש A ואחרי זה נקבל מידע חדש B ונעדכן את כל ההסתברויות בלכ פעם על פי המידע החדש, ההסתברויות המעודכנות יהיו זהות להסתברויות המעודכנות במקרה שנקבל מידע חדש C ואחרי זה נקבל מידע חדש D. המשמעות היא שכפל של הסתברויות זהה לכפל של מספרים ממשיים. המשוואה הנגזרת מכך היא: $y\,f\left({f(z) \over y}\right)=z\,f\left({f(y) \over z}\right)$

המשמעות של המשפט

משפט קוקס הפכה לאחת ההצדקות של השימוש בהסתברות בייסיאנית. בעוד על פי תפיסת הסתברות רגילה, הסתברות מתפרשת כשיטת לוגיקה פורמלית המהווה הרחבה של הלוגיקה של אריסטו, למצבי אי-וודאות. קיים ויכוח על השאלה האם משפט קוקס מוציאה מכלל אפשרות מודלים אחרים להסתברות בתנאי אי-וודאות. הוצעו גם חלופות אחרות, המתבססות על ביטול חלק מההנחות הפחות אינטואיטיביות במשפט קוקס. מודל כזה הוצע למשל על ידי הארדי.

ראו גם

• הסתברות בייסיאנית

קישורים חיצוניים

• E. T. Jaynes Wayman Crow, Probability Theory: The Logic of Science, Washington University

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

19548255משפט קוקס