משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט

תהי ${\mathcal {A}}$ אלברת בנך ונסמן ב $G({\mathcal {A}})$ את אוסף האיברים ההפיכים על ${\mathcal {A}}$ . נסמן ב e את איבר היחידה ב ${\mathcal {A}}$ . יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על ${\mathcal {A}}$ . בבירור צריך להתקיים ש $F(e)=1$ וכן ש $F(x)\neq 0$ לכל x ב $G({\mathcal {A}})$ . לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על ${\mathcal {A}}$ המקיים $\phi (e)=1,\phi (x)\neq 0\forall x\in G({\mathcal {A}})$ הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי $x\in {\mathcal {A}}$ כך ש $\|x\|<1$ אז $x-e$ הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של $\sum _{k}x^{k}$ היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת $f(0)=1,f'(0)=0,0<|f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}$ אז $f\equiv 1$ .

$h_{r}(\lambda ):={\tfrac {r^{2}g(\lambda )}{\lambda ^{2}(2r-g(\lambda ))}}$ . אזי h אנליטית במעגל ברדיוס $2r$ . כמו כן אם $|\lambda |=r$ אז נקבל ש $|h_{r}(\lambda )|\leq 1$ . כעת מעקרון המקסימום, $|h_{r}(\lambda )|\leq 1$ לכל $|\lambda |\leq r$ . נשאיף $r\to \infty$ ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי $N=\ker(\phi )$ . יהו $x,y\in {\mathcal {A}}$ ההנחה ש $\phi (e)=1$ גוררת שאפשר לרשום $x=a+\phi (x)e,y=b+\phi (y)e$ כאשר $a,b\in N$ . $\phi (xy)=\phi (ab)+\phi (x)\phi (y)$ ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש $a,b\in N\Rightarrow ab\in N$ .נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר $a\in N\Rightarrow a^{2}\in N$ . נקבל ש $\phi (x^{2})=\phi (x)^{2}$ . נציב x+y במקום x ונקבל ש $\phi (xy+yx)=2\phi (x)\phi (y)$ . לכן $x\in N\Rightarrow xy+yx\in N$ . נתבונן בזהות הבאה: $(xy-yx)^{2}+(xy+yx)^{2}=2(x(yxy)+(yxy)x)$ .

נניח ש $x\in N$ . מהטענה הקודמת ומההנחה ש $a\in N\Rightarrow a^{2}\in N$ נקבל שצד ימין וכן $(xy+yx)^{2}$ ב N. לכן $(xy-yx)^{2}$ ב N וכיוון ש $\phi (x^{2})=\phi (x)^{2}$ נקבל ש $xy-yx$ ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש $\phi$ רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, $\|x-e\|\geq 1\forall x\in N$ . לכן לכל $\lambda \in \mathbb {C} ,x\in N$ $\|x-\lambda e\|\geq |\lambda |=|\phi (x-\lambda e)|$ לכן נסיק ש $\phi$ רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש $a\in N\Rightarrow a^{2}\in N$ . נקבע $a\in N$ . ללא הגבלת הכלליות, $\|a\|=1$ . נגדיר $f(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\phi (a^{n})\lambda ^{n}}{n!}}$ . כיוון ש $|\phi (a^{n})|\leq \|a^{n}\|\leq \|a\|^{n}=1$ נקבל ש f שלמה ומקיימת $|f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}$ בבירור $f(0)=1,f'(0)=\phi (a)=0$ . נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה $E(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\lambda ^{n}}{n!}}a^{n}$ מתכנסת בנורמה ומרציפות $\phi$ נקבל ש $f(\lambda )=\phi (E(\lambda ))$ הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: $E(\lambda _{1}+\lambda _{2})=E(\lambda _{1})E(\lambda _{2})$ (אותה הוכחה). בפרט $e=E(0)=E(\lambda )E(-\lambda )$ . לכן