משפט בנך-אלאוגלו

משפט בנך-אלאוגלו (Banach-Alaoglu theorem) הוא משפט באנליזה פונקציונלית, האומר כי כדור יחידה במרחב הדואלי הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה עליה.

הוכחה שהמשפט מתקיים במרחב ספרבילי נורמי ניתנה בשנת 1932 על ידי סטפן בנך, ובשנת 1940 ניתנה הוכחה כוללת על ידי לאונידס אלאוגלו.

כיוון שהוכחת המשפט נעשית באמצעות משפט טיכונוף, היא מתבססת על אקסיומת הבחירה.

הטופולוגיה החלשה-* המוגדרת על המרחב הדואלי למרחב וקטורי טופולוגי

יהי $X$ מרחב וקטורי טופולוגי נורמי (למשל מרחב בנך), ויהי $X^{*}$ המרחב הדואלי שלו.

נשים לב כי כל מרחב X כנ"ל, משוכן באופן קנוני במרחב הדואלי למרחב הדואלי $\ X^{*}$, על ידי אופרטורי הערכה בנקודה.

כלומר לכל $x\in X$, נגדיר אופרטור $\ T_{x}$ שיפעל על $\ X^{*}$ באופן הבא - לכל $\ f\in X^{*}$ יתקיים $\ T_{x}(f)=f(x)$. קל לראות כי $\ T_{x}$ פונקציונאל לינארי רציף, וההתאמה $x\mapsto T_{x}$ מהווה שיכון איזומטרי.

הטופולוגיה החלשה-* (קרי חלשה-כוכב,weak-star באנגלית) על המרחב הדואלי $\ X^{*}$, מוגדרת כטופולוגיה החלשה ביותר כך שאופרטורי הערכה בנקודה המתוארים מעלה רציפים.

באופן שקול, ניתן לכל אופרטור הערכה כזה $\ T_{x}$ להגדיר סמינורמה על $\ X^{*}$ על ידי $\ \rho _{x}(f)=|f(x)|$, לכל $\ f\in X^{*}$, והטופולוגיה החלשה-* היא הטופולוגיה המושרית על ידי משפחת הסמינורמות הללו.

נשים לב כי טופולוגיה זו חלשה מהטופולוגיה המקורית, כלומר כל קבוצה פתוחה בטופולוגיה החלשה-* היא אכן פתוחה בטופולוגיה המקורית.

משפט בנך-אלאוגלו

יהי X מרחב בנך. כדור היחידה הסגור של המרחב הדואלי $\ X^{*}$, ביחס לטופולוגיה הנורמית שלו (המתקבלת מהנורמה האופרטורית), הוא קומפקטי ביחס לטופולוגיה החלשה-*.

הוכחת המשפט

לכל $\ x\in X$ נגדיר אינטרוול $\ I_{x}=\left[-\|x\|,\|x\|\right]$ ונסתכל במרחב מכפלת טיכונוף שלהם $\ K=\prod _{x\in X}{I_{x}}$. לומר שפונקציונל f נמצא בכדור היחידה זה שקול לומר שהגרף של הפונקציונל הלינארי f עובר בתוך כל אינטרוול ולא יוצא ממנו, כלומר: הגרף של f הוא "קו" שנמצא כולו בין קצוות ה"רצועה" שנוצרה על ידי האינטרוולים. בנוסחה, $\ |f(x)|\leq \|x\|\iff f\in D(X^{*})$ כאשר D מסמל את כדור היחידה. לכן אפשר לשכן את כדור היחידה D בתוך K.

לפי משפט טיכונוף K הוא קומפקט (קבוצה קומפקטית סגורה) כמכפלה של מרחבים קומפקטיים (כל אינטרוול הוא קומפקט כי מדובר בקבוצה סגורה וחסומה במרחב האוקלידי).

כדי להוכיח ש-D הוא קומפקט מספיק להראות שזו קבוצה סגורה, אך זה ברור מאחר שלינאריות היא תכונה סגורה וכל פונקציונל ניתן להגדיר על ידי חיתוך כל התנאים הסגורים מהצורה $\ f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})\ ,\ f(ax)=af(x)$ ויש משפט בטופולוגיה הקובע שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. $\blacksquare$

ראו גם

• טופולוגיה חלשה
• משפט טיכונוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0