משפט ארדש-סקרש

במתמטיקה דיסקרטית, משפט ארדש-סקרש הוא משפט הקובע כי בכל סדרה באורך $\ ab+1$ של מספרים ממשיים שונים יש תת-סדרה עולה באורך $\ a+1$ או תת-סדרה יורדת באורך $\ b+1$. זהו משפט טיפוסי בתורת רמזי - במבנה גדול דיו אי אפשר להימנע ממידה מסוימת של סדר.

את המשפט הוכיחו פאול ארדש וגאורגה סקרש, במאמר שפרסמו בשנת 1935.

ניסוח פורמלי

תהי $\ x_{1},x_{2},...,x_{ab+1}$ סדרה של מספרים ממשיים שונים. אזי קיימת תת-סדרה מונוטונית עולה ממש באורך $\ a+1$, או שקיימת תת-סדרה מונוטונית יורדת ממש באורך $\ b+1$. המשפט נכון גם אם לא דורשים שהמספרים יהיו שונים, כאשר בניסוחו מחליפים את "יורדת ממש" ב- "יורדת" (כלומר לא עולה), ואת "עולה ממש" ב- "עולה" (כלומר לא יורדת).

החסם שנותן המשפט הוא הדוק, כלומר הטענה אינה נכונה עבור סדרות באורך $\ ab$.

הוכחת המשפט

הוכחה ראשונה

תהי $\ x_{1},x_{2},...,x_{ab+1}$ סדרה של מספרים ממשיים שונים. נגדיר לכל $\ i$ את $\ u_{i}$ להיות אורך תת-הסדרה העולה הארוכה ביותר המתחילה ב$\ x_{i}$, ובאופן דומה את $\ d_{i}$ להיות אורך תת-הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה ב$\ x_{i}$.

למה: אם $\ u_{i}=u_{j}$ עבור $\ i<j$, אז $\ x_{i}>x_{j}$. באופן דומה אם $\ d_{i}=d_{j}$ עבור $\ i<j$ כך $\ x_{i}<x_{j}$.

הוכחה: אם $\ u_{i}=u_{j}$ ו$\ x_{i}<x_{j}$, אז לכל תת-סדרה עולה שמתחילה ב$\ x_{j}$ ניתן לצרף בתחילתה את $\ x_{i}$ ולקבל תת-סדרה עולה ארוכה יותר. מכאן $\ u_{i}>u_{j}$, בסתירה לנתון. באופן דומה ניתן לקבל את הלמה על $d_{i}$ ו- $\ d_{j}$.

כעת נעבור להוכחת המשפט עצמו. נניח בשלילה כי אין תת-סדרה עולה ממש באורך $\ a+1$ ואין תת-סדרה יורדת ממש באורך $\ b+1$. לכן לכל $\ i$ מתקיים $\ u_{i}\leq a$. כמו כן $\ d_{i}\leq b$, ולכן יש רק $\ ab$ אפשרויות לערכי הזוג הסדור $\ (u_{i},d_{i})$. לעומת זאת יש $\ ab+1$ זוגות כנ"ל: $\ (u_{1},d_{1}),(u_{2},d_{2}),...,(u_{ab+1},d_{ab+1})$.

מעקרון שובך היונים קיימים $\ 1\leq i<j\leq ab+1$ כך ש $\ (u_{i},d_{i})=(u_{j},d_{j})$. כלומר $\ u_{i}=u_{j}$ וגם $\ d_{i}=d_{j}$. לכן מהלמה $\ x_{i}>x_{j}$ וגם $\ x_{i}<x_{j}$. סתירה.

הוכחה שנייה

תהי סדרה $\ x_{1},x_{2},...,x_{ab+1}$ של מספרים ממשיים שונים.

ניקח את x₁, ואחריו את המספר הקרוב לו ביותר מימינו שקטן ממנו, וכן הלאה, עד שאי אפשר יותר. קיבלנו סדרה יורדת. לאחר מכן, ניקח את המספר השמאלי ביותר שעוד לא לקחנו ונבצע עליו את אותה הפעולה. קיבלנו שוב סדרה יורדת. נחזור על הפעולה שוב ושוב עד שהסדרה מתרוקנת. אם אחת מהסדרות שקיבלנו באורך ארוך יותר מ-b, מצאנו. אם לא, על פי עקרון דיריכלה יש לפחות a+1 סדרות כאלה. נשים לב שהמספר האחרון (הימני ביותר) בסדרה השנייה בהכרח גדול יותר מהאיבר האחרון בסדרה הראשונה (אחרת הוא בהכרח היה מופיע בסדרה הראשונה). אותו נימוק תקף לכל a+1 הסדרות, לכן אם ניקח את האיברים האחרונים שלהן, נקבל סדרה עולה כמבוקש.

יתרונה של ההוכחה השנייה היא שהיא קונסטרוקטיבית, כלומר מספקת אלגוריתם למציאת הסדרה ולא רק מוכיחה את קיומה.

הוכחה שהחסם הדוק

נסתכל על הסדרה הבאה:

$b,b-1,\dots ,1,2b,2b-1,\dots ,b+1,\dots ,ab,ab-1,\dots ,ab-b+1$.

נשים לב שהסדרה מכילה את כל המספרים מ-1 ועד $ab$, ולכן יש בה בדיוק $ab$ איברים. כמו כן, נשים לב שאחרי כל איבר יש לכל היותר $b-1$ איברים קטנים ממנו, ובפרט סדרה יורדת מקסימלית היא באורך $b$ לכל היותר. בנוסף, אם נחלק את הסדרה ל- $a$ תתי סדרות באורך $b$ - אז עבור כל איבר, האיבר הבא אחריו שגדול ממנו חייב להימצא בתת-הסדרה הבאה. לכן, תת-סדרה עולה מקסימלית היא באורך $a$. לכן, אין לסדרה זו תת-סדרה יורדת באורך $b+1$, וכן אין לה תת-סדרה עולה באורך $a+1$. לפיכך, אין משפט ארדש-סקרש מתקיים עבור סדרות באורך $ab$.

ראו גם

• תורת רמזי

קישורים חיצוניים

• Erdős, Paul; Szekeres, George (1935). "A combinatorial problem in geometry", Compositio Mathematica 2: 463–470.