משוואת קושי-אוילר

משוואת קושי-אוילר (לעיתים משוואת אוילר) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים אוגוסטן לואי קושי ולאונרד אוילר.

הגדרה פורמלית

משוואות אוילר ההומוגנית נתונה בצורה הבאה: $\sum _{i=0}^{n}{{{a}_{i}{x}^{i}}\cdot {y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0$, כאשר המקדמים הם מספרים ממשיים, והמקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר שונה מאפס.

זוהי משוואה לינארית הומוגנית, ולכן יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים מרחב וקטורי.

משוואות אוילר הלא הומוגנית היא מהצורה: ${a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$, כאשר f היא פונקציה כלשהי שלא שווה זהותית לאפס.

לעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה: ${x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$

דוגמאות

נציג מספר משוואות אוילר.

1) ${x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0$

אפשר להיווכח בכך ש-$y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}$ וגם $y(x)=x$ הם פתרונות בלתי תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינארי שלהם הוא הפתרון הכללי.

2) ${x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0$

כאן $y(x)=x$ הוא פתרון למשוואה. גם $y(x)=xln(x)$ הוא פתרון למשוואה. היות שהם בלתי תלויים לינארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של שני אלו.

3) ${x}^{2}{y}''+xy'+y=0$

מכאן שהפתרונות הבלתי תלויים למשוואה הם ${y}_{1}(x)=sin(ln(x)),{y}_{2}(x)=cos(ln(x))$.

בהמשך נראה את השיטה לפתרון המשוואה.

מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים

אחד הדברים החשובים בנוגע למשוואת אוילר, הוא שהיא שקולה למשוואה לינארית עם מקדמים קבועים. כלומר, ניתן לקחת כל משוואה כזו ולהפוך אותה למשוואה לינארית עם מקדמים קבועים. עם זאת, לא זוהי השיטה לפתור את המשוואה בפועל - שיטה זו תוצג בהמשך.

לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה: ${x}^{2}y''+{a}_{1}xy'+{a}_{0}{y}=0$

אם נגביל את הדיון לx>0, נשתמש בהצבה $x={e}^{t}$ (עבור x<0 אפשר בדומה להציב $x=-{e}^{t}$).

מתוך ההצבה נקבל $t=ln(x)$.

הנגזרות נתונות, לפי כלל השרשרת, על ידי:

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dt}}={e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}$

$y''={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dt}}({e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}){\frac {dt}{dx}}=(-{e}^{-t}{\frac {dy}{dt}}+{e}^{-t}{\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}){e}^{-t}$

אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל: ${\frac {{d}^{2}y}{d{t}^{2}}}+({a}_{1}-1){\frac {dy}{dt}}+{a}_{0}y=0$

זו משוואה לינארית עם מקדמים קבועים.

גם המעבר בכיוון הנגדי אפשרי, על ידי ההצבה ההפוכה.

(במקרה הכללי פועלים באופן דומה - מוצאים את כל הנגזרות לפי כלל השרשרת, מציבים ומגיעים לאותה התוצאה למקרה של משוואה מסדר n).

שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית

ראינו לעיל שמשוואת אוילר שקולה למשוואה לינארית עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: $y(t)={e}^{rt}$. אם נחזור למשתנה x, נקבל: $y(x)={x}^{r}$.

לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.

לאחר הצגת עובדה זו, אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו.

אם שוב נעסוק במקרה של משוואה מסדר 2, נקבל:

נניח שניחשנו את הפתרון הבא: $y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}$. אז נציב:

${x}^{2}\cdot r(r-1){x}^{r-2}+{a}_{1}x\cdot r{x}^{r-1}+{a}_{0}{x}^{r}=0$ כלומר ${x}^{r}\cdot [r(r-1)+{a}_{1}r+{a}_{0}]=0$.

זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: $r(r-1)+{a}_{1}r+{a}_{0}=0$

פולינום זה נקרא המשוואה האינדיציאלית של המד"ר.

כעת נראה דוגמה לפתרון לפי השיטה הזו. למשל, במשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: ${x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0$, המשוואה האינדיציאלית היא: $(r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2$ ששורשיה הם $r=1,-2$. לכן הפתרונות הם $y(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}$ וגם $y(x)=x$, כנאמר לעיל.

השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:

• שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש $r$ המופיע בריבוי $m$ במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: ${x}^{r},{x}^{r}\ln(x),...,{x}^{r}{\ln }^{m-1}x$.

• שורש מרוכב - אם $a+bi$ הוא שורש, אז גם $a-bi$ הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי: ${x}^{a}\cos(b\cdot ln(x)),\quad {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))$

• שורש מרוכב עם ריבוי - אם $a+bi$ הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: ${x}^{a}\cos(b\cdot ln(x)),{x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x)),...,{\ln }^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\cos(b\cdot \ln(x)),{ln}^{m-1}(x)\cdot {x}^{a}\sin(b\cdot \ln(x))$

מסקנות אלו נכונות בגלל היותן נכונות ל משוואות דיפרנציאליות לינאריות במקדמים קבועים.

שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית

כמו בכל משוואה לינארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית.

לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים. ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.

תהי המשוואה: ${x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)$

ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור משוואות דיפרנציאליות לינאריות, נכון אנלוגית גם כאן.

בצורה הכללית ביותר, אם

$f(x)={x}^{a}[{c}_{11}+{c}_{12}ln(x)...+{c}_{1p}{ln}^{p-1}(x)]sin(b\cdot ln(x))+{x}^{a}[{c}_{21}+{c}_{22}ln(x)...+{c}_{2p}{ln}^{p-1}(x)]cos(b\cdot ln(x))$

ואם $a+bi$ הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:

${x}^{a}{ln}^{m+k}(x)sin(b\cdot ln(x)),{x}^{a}{ln}^{m+k}(x)cos(b\cdot ln(x))\quad ,k=1,...,p$

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית לינארית