משוואת איינשטיין

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון $G$ ובקבוע של מהירות האור $c$ . מציאת המשוואה הייתה פסגת עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 עד להצלחה בנובמבר 1915. היא משוואה המתארת קשר בין שדות טנזוריים, היא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.

רקע

איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה להישגים בתיאור תורה אלקטרומגנטית. הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)

\ \nabla ^{2}\Phi ={4\pi G}\rho

לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית). לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (רכיב שדה יחיד) ותורה וקטורית (ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה אלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בו לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור סימטרי, 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).

מרכיבי המשוואה

צד הגאומטריה

איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, $g_{\mu \nu }$ . מטריקה זו מגדירה את עקמומיות המרחב-זמן. מהמטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י, ומאלה מרכיבים את טנזור איינשטיין

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}

צד החומר

החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן $\ T_{\mu \nu }$ . רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב. לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.

המשוואה

כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:

G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

זו היא משוואה טנזורית, המורכבת למעשה ממשוואה עבור כל רכיב. לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים, ובהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות. זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון. זו משוואת-שדה, עבורה ידועים מספר פתרונות. המפורסמים שבהם כוללים פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.

הקבוע הקוסמולוגי

מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה. משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי". המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי $\Lambda$ , היא

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו. אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד-הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").
משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.

פיתוח המשוואה

את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על $\ S=S_{H}+S_{M}+S_{\Lambda }$ כאשר S_M היא הפעולה של החומר (מוואריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), $S_{\Lambda }$ הוא פעולת האנרגיה האפלה (מוואריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו S_H היא הפעולה של מרחב עקום. המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל

\ S_{H}=\int {d^{4}x{\sqrt {-\det g}}R}

כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב. מוואריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.

ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין

שלב ראשון: טנזור איינשטיין

משוואת איינשטיין נכתבת בצורה:

$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$ (1)

יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד אם שימור לוקאלי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{;\mu }=0$ (2)

לכן נחפס טנזור איינשטיין $G^{\mu \nu }$ אשר מקיים את התנאי:

$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }={G^{\mu \nu }}_{;\mu }=0$ (3)

נתחיל בזהות ביאנקי הדפרנציילית:

${R}_{\rho \sigma \mu \nu ;\lambda }+{R}_{\rho \sigma \lambda \mu ;\nu }+{R}_{\rho \sigma \nu \lambda ;\mu }=0$ (4)

נכפיל את שני צידי המשוואה ב $g^{\rho \mu }$ :

${R^{\mu }}_{\sigma \mu \nu ;\lambda }+{R^{\mu }}_{\sigma \lambda \mu ;\nu }+g^{\rho \mu }{R}_{\rho \sigma \nu \lambda ;\mu }=0$

שווה ל:

${R}_{\sigma \nu ;\lambda }-{R^{\mu }}_{\sigma \mu \lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R}_{\sigma \rho \nu \lambda ;\mu }=0$

נכפיל את שני צידי המשוואה ב $g^{\sigma \nu }$ :

${R^{\nu }}_{\nu ;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R^{\nu }}_{\rho \nu \lambda ;\mu }=0$

שווה ל:

${R}_{;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R}_{\rho \lambda ;\mu }=0$

${R}_{;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-{R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }=0$

${R}_{;\lambda }-2{R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }=0$

${R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }-{\frac {1}{2}}{R}_{;\lambda }=0$

נכפיל את שני צידי המשוואה ב $g^{\nu \lambda }$ :

${R^{\mu \nu }}_{;\mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \lambda }{R}_{;\lambda }=0$

${R^{\mu \nu }}_{;\mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \mu }{R}_{;\mu }=0$

${\Bigl (}{R^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{R}{\Bigr )}_{;\mu }=0$ (5)

נגדיר טנזור איינשטיין $G^{\mu \nu }$ כך:

$G^{\mu \nu }={R^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{R}$

טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):

$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }={G^{\mu \nu }}_{;\mu }=0$

לכן הוא טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השאמלי של משוואת איינשטיין.

שלב שני: הקבוע הכבידה של איינשטיין

כעת נחפס את הערך הקבוע $\kappa$ קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאורית הכבידה הניוטונית בקרובים של כבידה חלשה, למעשה לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאורית הכבידה הניוטונית בכבידה חלשה.

תאורית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורותה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי. חוק גאוס הכבידתי מקשר בין פטנציאל הכבידה $\Phi$ לבין צפיפות המסה $\rho$ .

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho$ (6)

מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:

${\ddot {\vec {x}}}={\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi$

${d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=-{\partial \Phi \over \partial x^{i}}$ (7)

משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:

${d^{2}x^{\sigma } \over d\tau ^{2}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{dx^{\mu } \over d\tau }{dx^{\nu } \over d\tau }=0$ (8)

עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:

$v^{\sigma }={dx^{\sigma } \over d\tau }\approx (c,0,0,0)$ (9)

חשב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן.

$\Gamma _{00}^{i}=-{\frac {1}{c^{2}}}{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}$

לפי משוואה 7

$\Gamma _{00}^{i}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial \Phi \over \partial x^{i}}$ (10)

עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע היה שווה ל:

$T_{\mu \nu }={\text{diag}}(\rho c^{2},0,0,0)$ (11)

אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:

$g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ (12)

כאשר $h_{\mu \nu }$ הוא ערך קטן מאוד.

נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:

$\partial _{0}g_{\mu \nu }=0\Rightarrow \partial _{0}\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=0$ (13)

כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שולשת ממדי המרחב

$G_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=\kappa T_{ij}$

לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקרוב ל:

$R_{ij}-{\frac {1}{2}}\eta _{ij}R=0$

$R_{ij}={\frac {1}{2}}R\delta _{ij}$ (13)

נחשב את סקלר ריצ'י

$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=-R_{00}+\delta ^{ij}R_{ij}$

נציב את משוואה 13

$R\approx -R_{00}+\delta ^{ij}{\frac {1}{2}}R\delta _{ij}=-R_{00}+3{\frac {1}{2}}R$

לכן:

$R_{00}={\frac {1}{2}}R$ (14)

מתוך המשוואות 13 ו- 14

$R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}R\delta _{\mu \nu }$ (15)

כעת נחשב את $R_{00}$ לפי נוסחת טנזור ריצ'י

$R_{00}={R^{\mu }}_{0\mu 0}={R^{0}}_{000}+{R^{i}}_{0i0}={R^{i}}_{0i0}$

טנזור רימן הוא:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \mu }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \nu }^{\rho }$

לכן עובר $R_{00}$ :

${R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}-\partial _{0}\Gamma _{0i}^{i}+\Gamma _{00}^{\alpha }\Gamma _{\alpha i}^{i}-\Gamma _{0i}^{\alpha }\Gamma _{\alpha 0}^{i}$