מרחב מנה (אלגברה ליניארית)
באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי $ V $ המתקבל מתת-מרחב $ W $, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" $ W $ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן $ V/W $. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".
הגדרה
יהא $ V $ מרחב וקטורי מעל שדה $ \mathbb {F} $, ויהי $ W $ תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי $ v\sim u\Leftrightarrow v-u\in W $ עבור כל $ v,u\in V $. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור $ v\in V $ להיות $ \left[v\right]=\left\{u\in V\mid u\sim v\right\} $, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן $ V/W $. ניתן להגדיר באופן טבעי על $ V/W $ מבנה של מרחב וקטורי מעל $ \mathbb {F} $, על ידי פעולת חיבור $ \left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right] $ וכפל בסקלר $ \lambda \cdot \left[v\right]=\left[\lambda \cdot v\right] $.
ניתן להראות כי אם $ V $ מרחב וקטורי מממד סופי, אז $ \dim \left(V/W\right)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right) $.
דוגמאות למרחב מנה
- אם נתבונן במרחב הווקטורי $ V=\mathbb {R} ^{2} $ ובתת המרחב $ W=\left\{\left(x,y\right)\mid x=y\right\} $ (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל $ V/W $ הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-$ \mathbb {R} ^{2} $, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב $ \mathbb {R} $.
- באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי $ \mathbb {R} ^{n} $ ובתת מרחב שלו $ \mathbb {R} ^{m} $ לאיזה $ m<n $ המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה $ \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m} $ איזומורפי באופן טבעי למרחב $ \mathbb {R} ^{n-m} $.
- באופן עוד יותר כללי, אם $ V=W\oplus U $, אז מרחב המנה $ V/U $ איזומורפי באופן טבעי למרחב $ W $.
- יהי $ \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right) $ מרחב מידה. נקבע $ 1\leq p<\infty $ כלשהו, ויהי $ L^{p} $ אוסף הפונקציות המדידות מהצורה $ X\to \mathbb {R} $ או $ X\to \mathbb {C} $, המקיימות $ \|f\|_{p}\equiv \left(\int _{X}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty $. מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי $ \|\|_{p} $ מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של $ L^{p} $. כדי להפוך את $ \|\|_{p} $ לנורמה, התכונה החסרה היא כי $ f\neq g\Longrightarrow \|f-g\|_{p}\neq 0 $. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב $ W=\ker \|\|_{p}=\left\{f\in L^{p}\mid \|f\|_{p}=0\right\} $ (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-$ p $), ונקבל כי על המרחב $ L^{p}/W $, מתקבלת על ידי $ \|\|_{p} $ נורמה טבעית.
קישורים חיצוניים
מרחב מנה (אלגברה ליניארית)23771384