ישר

שלושה ישרים. לאדום ולכחול יש שיפוע זהה, בעוד שלאדום ולירוק יש נקודת חיתוך ציר y זהה

בגאומטריה, ישר הוא מושג יסודי, ולכן אינו מוגדר. הישר מאופיין באמצעות האקסיומות העוסקות בו. לישר יש ממד אחד ויחיד - אורך. בגאומטריה אוקלידית ישר נבנה באמצעות סרגל. בגאומטריה אנליטית ישר במישור הוא אוסף נקודות המקיימות משוואה לינארית נתונה. בגאומטריה ספירית הישר מיוצג (כלומר מקיים את כל האקסיומות) על ידי מעגל גדול על-פני ספירה והנקודה מיוצגת על ידי זוג נקודות אנטיפודיות.

אקסיומות הישר

אקסיומות הגאומטריה העוסקות בישר:

• לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
• כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
• מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
• אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.
• האקסיומה של פאש: אם: הישר x אינו מכיל אף אחת משלוש הנקודות C ,B ,A שאינן על ישר אחד, ו-x מכיל נקודה שבין A ל-B; אז מתקיים אחד מן השניים (ואחד בלבד): או ש-x מכיל נקודה בין A ל-C או ש-x מכיל נקודה בין B ל-C.
• מאקסיומות הגאומטריה ניתן להוכיח כי יש לפחות ישר אחד וכי כל ישר מכיל אינסוף נקודות.

מושגים גאומטריים המתבססים על הישר

• קטע הוא חלק של ישר המצוי בין שתי נקודות מסוימות שעליו (בין אם כולל את שתי הנקודות - ואז הוא נקרא קטע סגור, אינו כולל את שתי הנקודות ואז נקרא קטע פתוח או כולל רק אחת מהן - קטע חצי סגור וחצי פתוח). שתי הנקודות נקראות קצות הקטע והקטע המוגדר על ידן מכונה בשם הקטע המחבר את שתי הנקודות.
• קרן היא חלק של ישר שמתחיל בנקודה מסוימת ונמשך עד אינסוף.
  או, בהגדרה מדויקת: קרן היא קבוצת נקודות על הישר שאינה קטע ואינה מכילה את כל נקודות הישר ואשר כל קטע המחבר שתי נקודות עליה מוכל בה. נקודה נקראת ראשית הקרן אם כל קטע פתוח על הישר המכיל אותה - מכיל נקודה בקרן ונקודה מחוץ לקרן. קרן המכילה את הראשית שלה נקראת קרן סגורה. קרן שאינה מכילה את הראשית נקראת קרן פתוחה.
• קו שבור הוא אוסף של קטעים ישרים עוקבים (כלומר, נקודת ההתחלה של קטע אחד היא נקודת הסוף של אחר).
• מצולע הוא קו שבור סגור (לקטע האחרון והראשון נקודת קצה משותפת) ופשוט (לא חותך את עצמו).

משוואת הישר

משוואת ישר במישור

משוואת הישר במישור x-y בצורה הכללית ביותר היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a x + b y = c}

אם $b\neq 0$ נוח להציג את הישר כפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y = f(x)} , כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y = -\frac{a}{b} x + \frac{c}{b} = m x + n}

הגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} הוא השיפוע של הישר, ומתקיים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m = \tan\theta} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta} היא הזווית בין הישר לבין ציר ה-x. הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} קובע איפה יחתוך הישר את ציר ה-y ב-x=0.

משוואת הישר העובר דרך נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( x_0 , y_0 )} ששיפועו הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} נתונה על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y - y_0 = m \cdot ( x - x_0 )}

את המשואה $\ ax+by=c$ אפשר להציג גם כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} =c} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{a} } הוא הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b)} (שלמעשה מהווה הנורמל של הישר) ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{x} } הוא הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)} .

המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0 = ( x_0, y_0 )} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1 = (x_1, y_1)} היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (y - y_0)(x_1 - x_0) = (y_1 - y_0)(x - x_0)} .

אם x₀ ≠ x₁, ניתן לכתוב משוואה זו בצורה:

$y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}$

או

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{x_1y_0-x_0y_1}{x_1-x_0}} .

משוואת ישר במרחב

ניתן להציג ישר במרחב בעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n } ממדים ( הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n \ge2 } ) בהצגה וקטורית בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{b} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{a} } הוא נקודה על הישר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf{b} } הוא וקטור הכיוון, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t } הוא סקלר (אשר "רץ" על כל הערכים הממשיים).

במקרה של ישר העובר דרך שתי נקודות במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2} , אפשר להגיע להצגה זאת בדרך הבאה:

$\left\{t(\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1})+\mathbf {v} _{1}|t\in \mathbb {R} \right\}$

קל לראות שעבור t=0 מקבלים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v}_1} ועבור t=1 מקבלים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v}_2} .

ניתן להציג ישר במרחב כזה גם כצירוף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n-1 } משוואות לינאריות.

ראו גם

• גאומטריה אוקלידית
• פונקציה לינארית
• שיפוע
• משוואה לינארית

קישורים חיצוניים

• קווים - מתוך המילון לגאומטריה של משרד החינוך.
• הסבר על סוגי קוים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0