מצב קוונטי

מצב קוונטי הוא אוסף פרמטרים של מערכת במכניקת הקוונטים. ישנן מספר דרכים מתמטיות ליצג מצב קוונטי, כשנפוצות ביותר הן פונקציית גל, וקטור מצב ומטריצת צפיפות, ומספר דרכים לרשום אותו כשהדרך הנפוצה ביותר היא סימון דיראק: $|\psi \rangle$. עקב התכונות הייחודיות של מכניקת הקוונטים, מצב של מערכת קוונטית שונה מבחינות רבות ממערכת קלאסית. לדוגמה, עיקרון הסופרפוזיציה קובע שמצב קוונטי יכול להיות צירוף של מספר מצבים קונטיים אחרים בו-זמנית.

משמעות המושג

המצב הקוונטי נותן תיאור מלא של כל המשתנים הדינמים של מערכת, כשכל האפיונים הקבועים שלה נתונים. לדוגמה המצב של חלקיק יתאר את מיקומו ואת התנע שלו בהנחה שמסתו ידועה. במכניקת הקוונטים כל האינפורמציה (על המשתנים הדינמים) נמצאת במצב אך ידיעת המצב אינה בהכרח מאפשרת ליחס ערך ודאי למשתנים אלו, בשל עקרון האי-ודאות. קביעה זו נובעת מהתיאור של מכניקת הקוונטים את המציאות. בתיאור זה משתנה של מערכת יכול להיות בסופרפוזיציה של ערכים ואין משמעות הדבר שיש לו את אחד הערכים אך הוא לא ידוע. לדוגמה חלקיק הנמצא בסופרפוזיציה של מיקומים שונים אינו שקול לחלקיק הנמצא באחד מהמיקומים אך איננו יודעים באיזה.

מדידות

מצב קוונטי משמש לניבוי והסבר של תופעות פיזיקליות רבות הנצפות בניסויים. הקשר בין המצב לתוצאות המדידות נתון על ידי חוק בורן, שנותן את ההסתברות לתוצאה מסוימת לפי המצב הקוונטי. כלומר, אם משתנה כלשהו הוא בסופרפוזיציה של ערכים שונים, לא נוכל לדעת מה יהיה הערך שנקבל כשננסה למדוד אותו, אלא רק את הסיכוי לקבל כל ערך. מכך גם נובע שלא ניתן למדוד את המצב הקוונטי ישירות, כלומר, אין דרך לחלץ את כל האינפורמציה על מצבה של מערכת בודדת.

משתנים חבויים

טיבעה החדשני של מכניקת הקוונטים הניע פיזיקאים לחשוב שקיימת אינפורמציה נוספת שאינה נכללת במצב הקוונטי. סוג זה של אינפורמציה נקרא משתנים חבויים. ההנחה היא שישנו תיאור בסיסי יותר של המערכת באמצעות משתנים אחרים האומר מהו המצב האמיתי וממנו יהיה ניתן להסיק בוודאות את תוצאות כל מדידה. בגישה זאת, המצב הקוונטי הוא רק תיאור אפקטיבי הנובע מכך שאיננו יודעים את המשתנים החבויים ואת החוקים המנחים אותם. בעקבות משפט בל התברר שכדי שמשתנים חבויים יתאימו לתורת הקוונטים הם אינם יכולים לקיים את עקרון המקומיות.

הצגה וסימונים

כדי לתאר מערכת צריך אוסף מספרים לפי כמות דרגות החופש של המערכת לכן כל אוסף כזה יכול לייצג את המצב הקוונטי. דוגמאות לאוספים כאלו המסודרים במבנה מתמטי הן וקטור מצב, פונקציית גל, מטריצת צפיפות, שתי הזוויות של כדור בלוך או שני מספרים, m ו-l, המציינים את התנע הזוויתי.

פעמים רבות כתיבת המספרים, גם בצורת משתנים או וקטור, היא מסורבלת ואינה תורמת להבנת הרעיון או החישוב הנידונים ולכן סימון דיראק המיצג מצב קוונטי כללי ללא פרטים שאינם נחוצים, הוא שימושי למדי. סימון זה גם תואם את הפורמליזם הנפוץ של מכניקת הקוונטים.

מצבי בסיס

ניתן לבטא כל מצב קוונטי $|\psi \rangle$ כצירוף לינארי (סופרפוזיציה) של מצבי בסיס $|k_{i}\rangle$

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|k_{i}\rangle$

כאשר $\ c_{i}$ הם הקבועים המייצגים את המשרעת (אמפליטודה), וריבוע הערך המוחלט של האמפליטודה, $\left|c_{j}\right|^{2}$ הוא ההסתברות שבמדידה בבסיס $|k_{i}\rangle$ המערכת תימצא במצב$\ k_{j}$.

תנאי הנירמול של פונציית הגל מכתיב שסכום ההסתברויות יהיה

$\sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1$.

בסיס פשוט להבנה הוא הבסיס העולה מחקר מתנדים הרמוניים קוונטיים. במערכת זו לכל מצב בסיס $|n\rangle$ יש אנרגיה

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\right)$.

את שאר מצבי הבסיס ניתן לקבל על ידי אופרטור יצירה $\ a^{\dagger }$ ואופרטור השמדה $\ a$:

$a^{\dagger }|n\rangle =c_{n,n+1}|n+1\rangle ,\quad a|n\rangle =c_{n,n-1}|n-1\rangle$

כאשר $\ c_{n,n\pm 1}$ הם קבועים המשמשים לנירמול.

מצבים עצמיים

מצב עצמי הוא מצב של המערכת שאינו משתנה תחת הפעלת אופרטור מסוים. בניסוח אלגברי, מצב עצמי הוא וקטור עצמי של האופרטור. המצבים העצמיים של אופרטור הרמיטי מהווים בסיס שלם, ומאפשרים לפרוס כל מצב של המערכת בעזרת צירוף לינארי שלהם.

דוגמאות

משוואת שרדינגר היא משוואה למציאת המצבים העצמיים של ההמילטוניאן (אופרטור האנרגיה). הפתרונות שלה הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן, והם מצבים שאינם משתנים בזמן, כלומר מצבים יציבים, והערכים העצמיים של האופרטור הם האנרגיה של מצבי המערכת.

דוגמה אחרת היא אופרטור מדידת התנע הזוויתי. המצבים העצמיים שלו הם הפתרונות של מצבים שאינם משתנים לאחר סיבוב, כלומר מצבים בעלי סימטריה כדורית, ונקראים הרמוניות ספריות.

במודל אטום המימן, האורביטלים (הקליפות האלקטרוניות) הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן ושל אופרטור התנע הזוויתי (מכיוון שהוא איזוטרופי, כלומר סימטרי לסיבובים).

הגדרה פורמלית

בהינתן אופרטור ${\hat {A}}$ המצב $|\psi \rangle \neq 0$ יקרא מצב עצמי של ${\hat {A}}$ אם קיים מספר מרוכב $\ \lambda$ כך ש:

${\hat {A}}|\psi \rangle =\lambda |\psi \rangle$

כאשר המספר המרוכב $\ \lambda$ נקרא ערך עצמי של ${\hat {A}}$

עבור אופרטור הרמיטי מתקיים כי הערכים עצמיים $\ \lambda _{i}$ ממשיים וכל המצבים העצמיים $|i\rangle$ של האופרטור ההרמיטי מהווים בסיס אורתונורמלי ושלם.

מצבים טהורים ומעורבים

מצב טהור הוא מצב שניתן לתיאור כוקטור אחד, או סכום של וקטורי בסיס. מצב מעורב הוא מצב המורכב מהתפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים כלומר שמצב אינו סופרפוזיציה של מצבי בסיס, אלא אחד מהתפלגות סטטיסטית של מצבים.

ערך התוחלת $\ \langle a\rangle$ של גודל מדיד $\ A$ עבור מערכת במצב טהור $\ |\psi \rangle$ ניתן על ידי

$\langle a\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle =\sum _{i}a_{i}\langle \psi |\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|\psi \rangle =\sum _{i}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi \rangle |^{2}=\sum _{i}a_{i}P(\alpha _{i})$

כאשר $\ |\alpha _{i}\rangle$ הם מצבים עצמיים של האופרטור $\ A$, ו-$\ P(\alpha _{i})$ היא ההסתברות שבמדידת מערכת במצב $\ |\psi \rangle$, תוצאת המדידה תהא $\ a_{i}$ והמערכת תהא במצב $\ |\alpha _{i}\rangle$.

כדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות,$\ \rho$. בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:

$\ \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|$

כאשר $\ p_{s}$ הוא שבר של כל צבר במצב $\ |\psi _{s}\rangle$. הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל $A$ על המערכת במצב מעורב הוא:

$\left[A\right]=\langle {\overline {A}}\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=tr(\rho A)$

כאשר חשוב לשים לב ששני סוגי ממוצעים מתרחשים כאן, האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.

ראו גם

• מכניקה קוונטית
• מתנד הרמוני קוונטי
• סימון דיראק
• בסיס אורתונורמלי
• פונקציית גל
• אמפליטודה
• מטריצת צפיפות
• קיוביט

קישורים חיצוניים

• Eigenstates and eigenvalues in Quantum Mechanics: An intermediate level course, Prof. Richard Fitzpatrick, University of Texas, Austin