מספר פרמה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה $ F_{n}=2^{\left(2^{n}\right)}+1 $, כאשר $ \,n $ הוא מספר שלם לא שלילי. המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.

ניתן להוכיח שכאשר $ \,{2^{n}}+1 $ הוא מספר ראשוני, $ \,n $ חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה $ \,{2^{n}}+1 $ הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65,537,

הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: $ \ F_{5}=2^{2^{5}}+1=4294967297=641\cdot 6700417 $. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של $ \ F_{n} $ מוכרח להיות מהצורה $ \ 2^{n+1}k+1 $ (הוכחה: אם $ \ 2^{2^{n}}+1\equiv 0{\pmod {p}} $ אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא $ \ 2^{n+1} $, ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה $ \ 64k+1 $. מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון: $ \ F_{6}=2^{2^{6}}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721 $, ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן $ \,p $ צלעות, כאשר $ \,p $ ראשוני, אם ורק אם $ \,p $ הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן $ \,n $ צלעות (כאשר $ \,n>2 $ ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.

מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:

  • האם $ \,F_{n} $ הוא מספר פריק לכל $ \,n>4 $ ?
  • האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
  • האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 12 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) אינו ידוע הוא $ \ F_{33}=2^{2^{33}}+1 $; ונמצאו עוד כ-250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.[1]

הפירוק המלא של 12 מספרי פרמה הראשונים הוא:

F0 = 21 + 1 = 3 ראשוני
F1 = 22 + 1 = 5 ראשוני
F2 = 24 + 1 = 17 ראשוני
F3 = 28 + 1 = 257 ראשוני
F4 = 216 + 1 = 65,537 מספר פרמה הראשוני המוּכָּר הגדול ביותר
F5 = 232 + 1 = 4,294,967,297
= 641 × 6,700,417 (פורק באופן מלא בשנת 1732)
F6 = 264 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617 (20 ספרות)
= 274,177 × 67,280,421,310,721 (14 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1855)
F7 = 2128 + 1 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 ספרות)
= 59,649,589,127,497,217 (17 ספרות) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1970)
F8 = 2256 + 1 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,
639,937 (78 ספרות)
= 1,238,926,361,552,897 (16 ספרות) ×
93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1980)
F9 = 2512 + 1 = 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0
30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6
49,006,084,097 (155 ספרות)
= 2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 ספרות) ×
741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,
504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1990)
F10 = 21024 + 1 = 179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 ספרות)
= 45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 ספרות) ×
130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1995)
F11 = 22048 + 1 = 32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 ספרות)
= 319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 ספרות) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 ספרות) ×
173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1988)

מקורות

  • L.E. Dickson, Theory of Numbers, Vol. I, Chapter XV.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מספר פרמה32715063Q207264