מסנן קלמן

מסנן קלמן עוקב אחר הערכת מצב המערכת והשונות או חוסר הוודאות של ההערכה. ההערכה מעודכנת על פי מודל מעבר מצבים. ${\hat {x}}_{k\mid k-1}$ מסמן את מצב המערכת המוערך בזמן k לפני המדידה ה-k, לפני שהמדידה y_k נלקחה בחשבון; $P_{k\mid k-1}$ הוא ערך אי הוודאות.

מסנן קלמן הוא אלגוריתם, המקבל כקלט סדרה של מדידות מורעשות של ערכים שונים המייצגים מצב של מערכת בזמן מסוים, ומייצר הערכה, בדרך כלל מדויקת יותר, של אותם הערכים על סמך תוצאת המסנן בעבר. המסנן עובד בצורה רקורסיבית על קלט מורעש ומייצר הערכה סטטיסטית של מצב המערכת. המסנן נקרא על שם רודולף קלמן, אחד ממפתחיו הבולטים.

למסנן יישומים רבים בטכנולוגיה. אחד היישומים העיקריים הוא בהנחיה, ניווט ובקרה של כלי רכב, במיוחד מטוסים או רכבי חלל (בהם למערכות הניווט קשה לאכן את המיקום באמצעות נקודות ציון). כמו כן הוא מיושם רבות בעיבוד אותות ואקונומטריקה.

האלגוריתם מכיל מערכת משוואות והוא עובד בשני שלבים: ראשית, האלגוריתם מייצר הערכה של מצב המערכת (כלומר, ערכי המדדים שלה) ושל ערכי אי הוודאות שלהם. בשלב השני, נקלטות התוצאות של המדידות הבאות (בדרך כלל כולל שגיאות מדידה מסוימות). תוצאות אלו מקבלות כל אחת משקל משלה והוא מעדכן באמצעותן את מצב המערכת. משקל כל תוצאה תלוי ברמת האמינות אותה מייחס האלגוריתם לאותה מדידה. המשקלים יכולים להשתנות במשך פעולת המסנן בהתאם לתוצאות המתקבלות בכל מדידה. כך למשל, במידה שמתקבל הפרש גבוה בין ההערכה לבין המדידה, המסנן עשוי להפחית את המשקל שהוא נותן להערכות הקודמות שלו ולהגביר את המשקל הניתן לתוצאה, ולהפך.

האלגוריתם משתמש רק במדידות החדשות ובמצב המערכת כפי שהתקבל מההערכה שלו, ללא התייחסות לערכים קודמים. לפיכך, קל ליישם את האלגוריתם במערכות זמן אמת.

על מנת לקבל תוצאות מיטביות, האלגוריתם נדרש לקבל הערכות נכונות בקשר לדיוק המשתנים המתקבלים. במידה ואין הערכה כזו, תוצאות המסנן תהיינה טובות פחות, אך עדיין טובות בהרבה משימוש בשיטות רגילות, כמו ממוצע נע.

במסנן נעשה שימוש גם במצב בו מעוניינים לאחד את אותה מדידה משני חיישנים שונים ובלתי תלויים לטובת ייצור ערך מדויק יותר מכל אחת משתי המדידות.

תיאור מתמטי של מסנן קלמן

הפעלת מסנן קלמן כוללת שני שלבים:

1. חיזוי: הפעלת המודל הפרדיקטיבי כדי לקבל הערכה א-פריורי של מצב המערכת.
2. עדכון: עדכון ההערכה בעקבות התצפיות/מדידות שהתקבלו בפועל.

נסמן:

• ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$ – הערכת מצב המערכת במצב ה-k בהינתן המצב ב-k המצבים שלפניו
• $\mathbf {P} _{k\mid k}$ – הערכת השונות המשותפת במצב ה-k בהינתן המצב ב-k המצבים שלפניו
• $\mathbf {F} _{k}$ – מטריצת המודל הפרדיקטיבי המתארת כיצד מתפתחת המערכת במעבר משלב k-1 לשלב k (לפי מודל שמניח החוקר)
• $\mathbf {u} _{k}$ – וקטור של קלט מבוקר שמכניסים למערכת
• $\mathbf {B} _{k}$ – מטריצה המתארת כיצד הקלט משפיע על המערכת (לפי מודל שמניח החוקר)
• $\mathbf {Q} _{k}$ – מטריצת השונות המשותפת של הרעש בתהליך הקידום בזמן של מצב המערכת
• $\mathbf {z} _{k}$ – וקטור המדידות והתצפיות בשלב k
• $\mathbf {R} _{k}$ – מטריצת השונות המשותפת של הרעש שנוצר בתהליך המדידה (שגיאות מדידה, התפלגות תצפיות וכו')
• $\mathbf {H} _{k}$ – מטריצה המתארת כיצד להפיק מהמערכת תחזיות המתאימות למדידות שאנו מבצעים
• בשלב העדכון אנו נשווה בין התוצאות שחוזה המערכת לבין התוצאות שנמדדו בפועל (תצפיות) ועל-פי זה נתקן את ההערכה.

חיזוי

הערכת מצב המערכת (א-פריורי)	${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}$
הערכת שונות משותפת של השגיאה covariance (א-פריורי)	$\mathbf {P} _{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\mathrm {T} }+\mathbf {Q} _{k}$

עדכון

חידוש (ההפרש בין התצפיות לתחזית)	${\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}$
חידוש שונות משותפת	$\mathbf {S} _{k}=\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\mathrm {T} }$
הגבר קלמן המיטבי (optimal Kalman gain)	$\mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {S} _{k}^{-1}$
מצב מערכת מעודכן (פוסטריורי)	${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}$
הערכת שונות משותפת מעודכנת (פוסטריורי)	$\mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})^{T}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{T}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}$
ההתאמה בין המדידות להערכה המעודכנת	${\tilde {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$

קישורים חיצוניים

• A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
• Kalman and Bayesian Filters in Python. Open source Kalman filtering textbook.
• How a Kalman filter works, in pictures. Illuminates the Kalman filter with pictures and colors

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מסנן קלמן32665290Q846780