מסה מתווספת (מכניקת הזורמים)

במכניקת הזורמים, מסה מתווספת (אנגלית: Added mass) או מסה וירטואלית היא האינרציה שנוספת למערכת כיוון שעצם מאיץ או מאט חייב להזיז מעט נפח של הזורם המקיף אותו כשהוא נע דרכו. מסה מתווספת היא מושג חשוב בגלל שהעצם והזורם הסובב לא יכולים לתפוס את אותו המרחב בו־זמנית. לשם פשטות מצב זה ממודל על ידי מעט נפח של זורם הנע יחד עם העצם באותה מהירות כמוהו, למרות שבמציאות כל חלקי הזורם יואצו במידה זו אחרת. חשוב להבין שאפקט זה של מסה הנסחבת על ידי הגוף מתרחש רק עבור גופים מאיצים; בעבור גופים המתקדמים במהירות קבועה דרך הזורם הזרימה מסביב לגוף תתייצב עד מהרה על זרימה תמידית, אשר אינה נושאת עמה תנע נוסף פרט לזה הנובע ממהירות הזרימה המציפה (ששווה למהירות הגוף).

מקדם המסה המתווספת הוא גודל חסר ממד המוגדר כמסה המתווספת חלקי מסת הזורם הנדחית על ידי העצם – כלומר חלקי מכפלת צפיפות הזורם בנפח הגוף. באופן כללי (עבור גופים בעלי צורה שרירותית), המסה המתווספת היא טנזור מסדר שני, הקושר את וקטור התאוצה של הגוף לווקטור הכוח הפועל על הגוף.

הכוח הנגרם על ידי אפקט המסה הווירטואלית

את הכוחות הלא־יציבים הנגרמים אודות לשינוי המהירות היחסית של עצם המשוקע בזורם (יחסית לזורם) ניתן לחלק לשניים: אפקט המסה הווירטואלית וכוח באסט. אפקט המסה הווירטואלית מתייחס לכוח התגובה הפועל על הגוף עקב האינטראקציה שלו עם המסה המתווספת הנגררת על ידו.

ניתן להראות כי הכוח הנגרם ממסה וירטואלית בעבור חלקיק כדורי המשוקע בזורם בלתי צמיג ובלתי דחיס הוא:

${\vec {F}}={\frac {\rho _{c}V_{p}}{2}}\left({\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}-{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\right)$

${\vec {u}}$ מהירות הזורם, ${\vec {v}}$ מהירות החלקיק הכדורי, $\rho _{c}$ צפיפות המסה של הזורם, $V_{p}$ נפח החלקיק.

מקורו של המושג של "מסה וירטואלית" הופך ברור כאשר מסתכלים על משוואת התנע של החלקיק.

$m_{p}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}+{\frac {\rho _{c}V_{p}}{2}}\left({\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}-{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\right)$

$\sum {\vec {F}}$ הסכום של כל הכוחות האחרים הפועלים על החלקיק, כמו הכבידה, גרדיאנטי לחץ, כוח גרר, כוח עילוי, כוח באסט ועוד.

העברת הנגזרת של מהירות החלקיק מאגף ימין של המשוואה לאגף שמאל נותנת:

$\left(m_{p}+{\frac {\rho _{c}V_{p}}{2}}\right){\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}+{\frac {\rho _{c}V_{p}}{2}}{\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}$

כך שהחלקיק מאיץ כאילו הייתה לו מסה נוספת השווה למחצית מסת הזורם שהוא מתיק ממקומו, וישנו גם כוח נוסף הפועל על הגוף עקב אבר התאוצה של הזורם.

ישומים

המסה המתווספת ניתנת לשילוב במרבית המשוואות הפיזיקליות על ידי התייחסות לעצם הנע כבעל "מסה אפקטיבית" השווה לסכום מסתו והמסה המתווספת. סכום זה הוא שמכונה לעיתים "מסה וירטואלית".

יישום פשוט של מושג המסה המתווספת בעבור גוף כדורי מאפשר לחוק השני של ניוטון להיכתב בצורה:

$F=m{\vec {a}}\ \Rightarrow \ F=(m+m_{\text{added}}){\vec {a}}$

ניתן להראות שהמסה המתווספת בעבור כדור (ברדיוס $r$) הנו ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}$ , בדיוק חצי ממסת הזורם שהכדור מתיק ממקומו. בעבור גוף כללי, המסה המתווספת הופכת לטנזור (שמכונה טנזור המסה המושרית) עם רכיבים התלויים בכיוון התנועה של הגוף.

כל הגופים המאיצים בזורם יושפעו על ידי המסה המתווספת, אולם מכיוון שהמסה המתווספת תלויה בצפיפות הזורם, אפקט זה הוא לעיתים קרובות זניח בעבור גופים צפופים הנעים בזורמים בעלי צפיפות נמוכה בהרבה. במצבים בהם צפיפות הזורם היא ברת-השוואה או אף עולה על צפיפות הגוף, המסה המתווספת עשויה לעיתים קרובות לעלות על המסה של הגוף עצמו כך שהזנחתה תביא לשגיאות עצומות בחישובים הנלווים.

למשל, לבועת אוויר כדורית המתנתקת מתחתיתו של סיר מים ומתחילה להתרומם מעלה יש מסה ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air}}$ אולם מסה מתווספת של ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{water}}$ . כיוון שמים נוזליים צפופים בערך פי 800 מהאוויר, המסה המתווספת במקרה זה גדולה בקירוב פי 400 ממסת הבועה.

ארכיטקטורה ימית

העקרונות שתוארו מקודם תקפים גם לספינות, צוללות, ופלטפורמות חופיות. בתעשייה הימית, למסה המתווספת מתייחסים כמסה ההידרודינמית המתווספת. בתכנון ספינות, האנרגיה שנדרשת כדי להאיץ את המסה המתווספת חייבת להילקח בחשבון לפני יציאה להפלגה; במקרה זה, המסה המתווספת יכולה בקלות להגיע ל־¼ או ⅓ מהמסה של הספינה ולפיכך מייצגת כמות משמעותית של אינרציה, זאת בנוסף על הכוחות של גרר טפילי (גרר צמיגות) וגרר גלים.

בעבור תצורות גאומטריות מסוימות השוקעות חופשית, המסה ההידרודינמית המתווספת המקושרת לגוף השוקע יכולה להיות גדולה בהרבה ממסת העצם. מצב כזה יכול לקרות למשל, כאשר לגוף השוקע יש פאה רחבה אשר הווקטור הניצב לה מצביע בכיוון התנועה (מטה). כמות משמעותית של אנרגיה קינטית משתחררת כאשר עצם כזה מאיט בפתאומיות (למשל עקב פגיעה בקרקעית הים).

בתכנון מבנים חופיים הנושא של המסה ההידרודינמית המתווספת בעבור גאומטריות שונות הוא מושא לחקירות רבות. המחקרים הללו נדרשים בדרך כלל כדי להעריך את הסיכונים הכרוכים בנפילה (שקיעה) של עצם מטה (המחקרים מתמקדים בכימות הסיכונים הנלווים לפגיעה של עצם שוקע במבנים תת־מימיים). כיוון שהמסה ההידרודינמית המתווספת יכולה להוות חלק ניכר מהמסה הכוללת של העצם השוקע ברגע הפגיעה, היא מהווה גורם משמעותי בתכנון העמידות של מבנים תת־מימיים.

אווירונאוטיקה

במטוסים (ולא למשל במקרה של כדור פורח או ספינת אוויר), הצפיפות של האוויר בדרך כלל לא נלקחת בחשבון בגלל הצפיפות הזניחה של האוויר.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

23455233מסה מתווספת (מכניקת הזורמים)