ממוצע זהותי

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים.

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים $ a $ ו-$ b $, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:

$ I(a,b):=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}} $

כאשר $ a=b $ מגדירים $ I(a,b):=a=b $

מוטיבציה

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים $ a<b $ ופונקציה $ f:[a,b]\to \mathbb {R} $ רציפה בקטע הסגור $ [a,b] $ וגזירה בקטע הפתוח $ (a,b) $, אזי קיים $ a<c<b $ כך ש:

$ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}} $

אם הנגזרת $ f' $ היא פונקציה חד-חד-ערכית, $ c $ זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של $ a $ ו-$ b $ לפי הפונקציה $ f $.

הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת $ f(x)=x\ln x $.

תכונות

סימטריות

הממוצע הזהותי הוא סימטרי:

$ I(a,b)=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)=\exp \left({\frac {b\ln b-a\ln a}{b-a}}-1\right)=I(b,a) $

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן $ a_{1}\leq a_{2} $ ו-$ b_{1}\leq b_{2} $ ניתן להוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): I(a_1,b_1)\le I(a_2,b_2)

הומוגניות

הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל $ a $ ו-$ b $ ולכל מקדם $ \alpha >0 $:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} I(\alpha a,\alpha b) =\exp\left(\frac{\alpha a\ln (\alpha a) - \alpha b\ln (\alpha b)}{\alpha a - \alpha b} - 1\right) \\ =\exp\left(\frac{a\ln (\alpha a) - b\ln (\alpha b)}{a - b} - 1\right) \\ =\exp\left(\frac{a\ln a + a\ln \alpha - b\ln b - b\ln \alpha}{a - b} - 1\right) \\ =\exp\left(\frac{a\ln a - b\ln b}{a - b}+\ln \alpha - 1\right) \\ =\alpha\exp\left(\frac{a\ln a - b\ln b}{a - b} - 1\right) \\ =\alpha I(a,b) \end{align}

רציפות

הממוצע הזהותי $ I(x,y) $ הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן $ x\neq y $ הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן $ x=y $ ניתן להיעזר בגבול:

$ \lim _{x\to y}{\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}=\ln y+1 $

כדי לקבל ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \lim_{x\to y}{I(x,y)}=\lim_{x\to y}{\exp\left(\frac{x\ln x - y\ln y}{x - y} - 1\right)} =\exp(\ln y + 1 - 1)=y=I(y,y)

קשר לממוצע סטולרסקי

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים $ a $ ו-$ b $ ומספר ממשי $ p\neq 0,1 $, ממוצע סטולרסקי מחזקה $ p $ מוגדר להיות:

$ S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}} $

ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור $ p=1 $, מתקיים:

$ \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=I(a,b) $

מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.

קישורים חיצוניים

• ממוצע זהותי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ממוצע זהותי37600727Q10972421