אטום המימן

אטום המימן הוא האטום הפשוט ביותר, ובו שני גופים. הראשון הוא חלקיק מסיבי בעל מטען חיובי הנקרא פרוטון, והשני הוא חלקיק קל בעל מטען שלילי הנקרא אלקטרון. על החלקיקים פועל כוח קולון, שהוא כוח חשמלי מרכזי: כוח התלוי במרחק בין שני הגופים ובמטענם.

במכניקת הקוונטים, בניגוד למכניקה קלאסית, האלקטרון לא "נע" לאורך מסלול סביב הגרעין. הוא נמצא בו-זמנית בכל מקום בהסתברויות שונות. הפתרון הקוונטי מתאר באופן כמותי הסתברויות אלו ― הוא מתאר באופן מדויק מה הסיכוי למצוא את האלקטרון בחלק זה או אחר של המסלול.

ניסויים ספקטרוסקופיים שנערכו עד תחילת המאה ה-19 תיארו קווי פליטה של יסודות שונים. בפרט, תועד פיצול הקווים הספקטרליים של מימן בנוכחות שדה מגנטי (אפקט זימן). ניסיונות מוקדמים לבנות מודל תאורטי שיסביר את אפקט זימן, וכן אפקטים אטומיים אחרים, צלחו במידה מסוימת אך כשלו בתיאור אפקטים אחרים, כגון תוצאות ניסויי פיזור, שהיוו אבן יסוד בהתפתחות המודל האטומי.

מגוון מודלים התפתחו במהלך השנים הראשונות של המאה ה-20. מודלים שונים סיפקו הסברים לתופעות שונות, אך שום מודל לא הצליח לתאר את כולם ובכל מודל היו כשלים מהותיים. חלקם סיפקו הסבר לתופעות פיזור, אחרים לתופעות ספקטרוסקופיות, מודלים מסוימים לא היו יציבים מבחינה מכנית ואחרים מבחינה אנרגטית.

כדי להסביר את ההתנהגות המלאה של אטום המימן, היה צורך בעקרונות קוונטיים. גדלים מסוימים באטום המימן יכולים לקבל ערכים בדידים בלבד, לדוגמה: האנרגיה והתנע הזוויתי. הדבר משול למטוטלת שלא ניתן לנדנד אותה בכל תדירות אלא רק בתדירויות מסוימות. למרות הבסיס הקוונטי הזה, הצליח נילס בוהר לבנות מודל כמעט מושלם של אטום המימן. ב-1913 הוא פרסם את נוסחת בוהר לרמות האנרגיה המותרות באטום המימן, אליה הוא הגיע במה שכונה "תערובת קסומה של פיזיקה קלאסית שלא במקומה ומכניקת קוונטים מוקדמת" (משוואת שרדינגר לא פורסמה עד 1924).

רקע היסטורי

ציר זמן המתאר את התפתחות מודל אטום המימן בין השנים 1897 ל-1916

ב-1897 פרסם ג'יי ג'יי תומסון את "מודל עוגת הצימוקים" למבנה הפנימי של האטום. לפי מודל זה, האטום עשוי מכדור נוזל טעון חיובי, שהוא חסר צמיגות וחסר מסה, ובנוזל נמצאים חלקיקים בעלי מסה הטעונים במטען שלילי - האלקטרונים. תומסון הושפע מעבודותיהם של לורד קלווין ואלפרד מאייר (Alfred M. Mayer) בנושא תאוריית המערבולות (Atomic Vortex Theory) - תאוריה אטומית מוקדמת שלפיה אטומים הם מערבולות קטנות בנוזל מושלם ואינסופי. תחילה חשב תומסון על האטום כמבנה טבעתי, המורכב מחלקיקים טעונים במטען שלילי, שייתכן שמוחזקים יחדיו על ידי כוח מרכזי. במודל ראשוני זה לא היה מנגנון מושך שמונע מהאטום להתפשט כלפי חוץ. כשנתיים מאוחר יותר, הוא עידן את המודל על ידי הוספת הנוזל החיובי, אך רק ב-1903 נתן ניתוח כמותי מלא לבעיה.

הטיפול הכמותי תחת מודל תומסון היה פשטני. כדי להימנע מהסיבוכיות הגדולה של חישובים בשלושה ממדים, הגביל תומסון את מודל האטום שלו למסלולים מעגליים של אלקטרונים במישור אחד, וחישב מה יהיו הקונפיגורציות היציבות של מספרי אלקטרונים בכל מסלול. תומסון הראה, וזאת עוד לפני הולדת המכניקה הקוונטית, שמותרים מסלולים בדידים בלבד ולא רצף של אלקטרונים סביב מוקד יחיד. בנוסף, זיהה תומסון את הבעיה בצורת המסלולים - אלקטרונים המואצים בתנועה מעגלית פולטים קרינה ולכן מאבדים אנרגיה. איבוד האנרגיה הופך את האטום לבלתי יציב. תומסון הצליח להראות, בעזרת נוסחה שפותחה על ידי לרמור (Larmor) ב-1897, שככל שמספר החלקיקים גדול יותר בתוך המסלול כך קטן איבוד האנרגיה בגלל הקרנה. מאחר שבזמן הפרסום המקורי עדיין לא היה ידוע מספר האלקטרונים באטום, הבעיה הייתה פתורה.

המודל של תומסון היה המודל המקובל ביותר בין 1904 ל-1910, והקהילה המדעית התייחסה אליו כייצוג נכון של מבנה האטום. הסיבה העיקרית שהמודל היה כה פופולרי הייתה פשטותו - האטום מורכב מחלקיקים מסוג אחד בלבד, ולכן ניתן להתייחס לכל החומר בעולם כמורכב רק מסוג אחד של חלקיק. המודל גם התיימר להסביר, אם כי בצורה איכותית ולא כמותית, אפקטים פיזיקליים רבים כמו: אפקט זימן, רדיואקטיביות, האפקט הפוטואלקטרי ועוד.

מודל עוגת הצימוקים נכשל מכמה סיבות. ראשית, הוא דרש שנוזל החשמל החיובי יהיה חסר מסה וחסר צמיגות. הוא גם לא הצליח להסביר את ספקטרום הפליטה של אטומים מעוררים, אך הבעיה המשמעותית ביותר הייתה הערכתו של תומסון עצמו למספר האלקטרונים באטום. ב-1910 היה בסיס ניסויי מספק כדי לקבוע שבאטום המימן יש רק אלקטרון אחד, בהליום שניים או ארבע וכן הלאה. מיעוט האלקטרונים החזיר על כנה את בעיית יציבות האטום בשל פליטת קרינה, והיווה את המכה הקשה ביותר למודל. לא ניתן היה לטעון עוד כי ביצוע החישובים מסובך מדי, והמודל הישן לא תאם את המציאות.

ניסויי פיזור היו המפתח למודל הבא של האטום. מודל תומסון הצליח להסביר ניסויי פיזור של קרינת $\beta \,\!$ על ידי הנחה של פיזורים חוזרים מהאלקטרונים, אבל לא הצליח להסביר תוצאות של ניסויי פיזור $\alpha \,\!$. מודל האטום של רתרפורד, לעומת זאת, שהתבסס על ניסויי הפיזור המפורסמים של רתרפורד שנערכו במנצ'סטר ב-1908, הצליח להסביר את התוצאות בצורה טובה מאוד.

הניסוי של רתרפורד, שנערך על ידי האנס גייגר (Geiger) בסיוע ארנסט מרסדן (Marsden), היה ניסוי פיזור שבו נמדדו זוויות ההחזרה של חלקיקי $\alpha \,\!$ (גרעיני הליום מיוננים) מלוח זהב. התוצאות העלו שחלקיק אחד מ-8,000 מוחזר מהלוח (כלומר מוסט בזווית גדולה מ-90 מעלות). תוצאות אלה לא עלו בקנה אחד עם מודל הפיזורים המרובים של תומסון. כדי שפיזור בזווית גדולה יהיה אפשרי, על הפיזור להתבצע בהתנגשות יחידה עם מסה טעונה ומרוכזת. רתרפורד הסיק שהאטום מורכב מגרעין דחוס וטעון המוקף בענן מטען בעל סימן הפוך מהגרעין. רתרפורד לא קבע את מטען הענן או הגרעין, והחישובים שלו היו תקפים לגרעין חיובי או שלילי.

חולשת המודל המקורי של רתרפורד, שפורסם לראשונה ב-1911, נובעת בין השאר מכך שהוא נמנע מהתייחסות לצורת המסלול של האלקטרונים. בלי הבנה של התנהגות האלקטרונים היה המודל חסר יכולת להסביר תופעות כימיות כמו קישור בין אטומים, ואת סדירותה של הטבלה המחזורית. הוא גם לא היווה שיפור ביחס למודל של תומסון בנוגע להסבר קווי הפליטה הספקטרליים. ב-1913 פרסמו גייגר ומרסדן את תוצאות המדידות שלהם (שכללו יותר מ-100,000 מדידות נפרדות), ההתאמה המצוינת לנוסחת הפיזור שפיתח רתרפורד בהתבסס על המודל גברו על החולשות שהיו בו, והוא הפך למודל המקובל.

הראשון שהתמודד עם בעיית המבנה של ענן האלקטרונים היה נילס בוהר. ב-1912 שלח נילס בוהר לארנסט רתרפורד מכתב המפרט את רעיונותיו לגבי מבנה האטום. מכתב זה זכה לשם "מזכר מנצ'סטר". במכתב כותב בוהר כי האטום יהיה יציב מבחינה מכנית אם מתירים לאנרגיה הקינטית של האלקטרונים להיות פרופורציונית לתדירות הסיבוב שלהם. הוא בחר את קבוע הפרופורציה כך שיהיה קרוב לקבוע פלנק. בוהר התמודד עם בעיית קונפיגורציית האלקטרונים אך עדיין לא עם ספקטרום הפליטה. במאמר מאוחר יותר, משנת 1913, התייחס בוהר גם לבעיה זו.

כדי לפתור את הבעיה, הוסיף בוהר שני פוסטולטים לתאוריה. הראשון: מצבים יציבים (סטציונריים) קיימים עבור אלקטרונים המקיפים את הגרעין ועבורם מכניקה רגילה תקפה אך אלקטרודינמיקה אינה תקפה, השני: במעבר בין מצבים סטציונריים נפלטת קרינה, בתדירות שקשורה רק להפרש האנרגיות בין המצבים. בעזרת הנחות אלה הצליח בוהר לפתח את אורכי הגל של סדרות פליטה שהיו ידועות באותו זמן: סדרת בלמר וסדרת פשן (Paschen Series). סדרות אלה התאימו למצבים הקוונטיים n=2, n=3. בנוסף לכך, הוא חזה סדרות נוספות המתאימות ל n גדול מ-4, וכן ל-n=1. את הסדרה n=1 מדד לימן (Lyman) ב-1914, והיא נקראת על שמו. הסדרה תואמת את התחזיות של בוהר.

מודל האטום של בוהר היה שאפתני למדי, הוא התיימר לטפל לא רק באטומים פשוטים דוגמת אטום המימן, אלא ניסה לבנות תאוריה כימית שלמה גם ליסודות הכבדים, וכן למולקולות פשוטות. התאוריה כשלה לראשונה בניסיונות של בוהר לתאר קשרים כימיים קוולנטיים, והתברר לבסוף שרק התפתחות מכניקת הקוונטים המלאה תסביר בצורה מספקת קשרים מסוג זה. כבר ב-1887 מדדו מייקלסון ומורלי את הפיצול בקו הפליטה האדום בספקטרום המימן. חוסר היכולת להסביר את המבנה הדק הזה בעזרת התאוריה של בוהר היה גורם משמעותי להבנה שגם מודל זה אינו מהווה הסבר מלא למבנה האטומי.

זומרפלד (Sommerfeld) עידן את המודל של בוהר ב-1916 על ידי שילוב של תורת היחסות הפרטית במודל, ובכך הצליח לחשב את הפיצול העדין בספקטרום המימן. החישובים אומתו בניסוי על ידי פשן (Paschen) בגרמניה ב-1916.

מאפיינים מתמטיים של הפתרון

ניתן לכתוב כל מצב של אטום המימן (התיאור הפונקציונלי של ענן ההסתברות של האלקטרון) כסופרפוזיציה של מצבים עצמיים. מצבים עצמיים הם היחידות הבסיסיות שאיתן ניתן להרכיב כל פתרון אפשרי. מצב עצמי מאופיין על ידי ארבעה מספרים קוונטיים: $n,\ell ,m,m_{g}s$.

הדמיית האורביטלים (ענני הסתברות) של האלקטרון באטום המימן. הצבעים מציינים פאזה. האותיות $s,p,d\,\!$ הן סימונים מקובלים לאורביטלים עם הערכים $\ell =0,1,2$ בהתאמה. כפי שניתן לראות המסלולים נהיים מורכבים יותר ככל שעולים במספרים הקוונטיים $m,\ell$.
	$\ell =0\;(s)$	$\ell =1\;(p)$		$\ell =2\;(d)$
	$m=0\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=\pm 2\,\!$
$n=1\,\!$
$n=2\,\!$
$n=3\,\!$
$n=4\,\!$
$n=5\,\!$

$n\,\!$ מציין את מספר האנרגיה, $\ell$ את מספר התנע הזוויתי. מספרים אלו מאפיינים את ההתנהגות הכללית של הפתרון. $m,m_{s}\,\!$ מציינים את המספר המגנטי של הספין ואת המספר המגנטי בהתאמה. כפי ששמם מרמז, הם מאפיינים את התנהגות הפתרון בנוכחות שדה מגנטי. בהיעדר שדה מגנטי, לא ניתן להבחין בין פתרונות עם מספרים מגנטיים שונים.

מספר האנרגיה $n$

הערך של $n$ מציין את רמת האנרגיה של האלקטרון. הוא מקבל את הערכים $n=1,2,\ldots$. כתוצאה מכך לא כל רמה אנרגטית אפשרית, אלא רמות מסוימות בלבד. הקשר בין האנרגיה ל$n\,\!$ נתון על ידי:

$$E_{n}=-{\frac {R_{y}}{n^{2}}}=-{\frac {13.6}{n^{2}}}eV$$

• $R_{y}={\frac {m_{e}e^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}=13.6eV\,\!$ נקרא קבוע רידברג. זוהי כמות האנרגיה הדרושה כדי ליינן (לשחרר) אלקטרון ברמת האנרגיה הראשונה באטום המימן.
• $m_{e}\,\!$ מסת המנוחה של האלקטרון
• $e\,\!$ מטען האלקטרון
• $h\,\!$ קבוע פלאנק
• $\epsilon _{0}\,\!$ פרמאביליות הריק

מספר התנע הזוויתי $\ell$

התנע הזוויתי האורביטלי של אטום המימן מקבל את הערכים $\ell =0,1,2,\ldots ,n-1$ ומקושר לתנע הזוויתי לפי

$$\left|L\right|^{2}=\hbar ^{2}\ell \left(\ell +1\right)$$

$\hbar$ קבוע פלאנק המצומצם ונתון על ידי $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$

המספר המגנטי $m$

המספר המגנטי אמנם מובחן רק כאשר מופעל שדה מגנטי חיצוני, אך המשמעות הפיזיקלית שלו היא הגודל של רכיב z (כיוון השדה המגנטי. בהיעדר שדה מגנטי הציר נבחר באופן שרירותי) של התנע הזוויתי. ערכיו הם $m=-\ell ,-(\ell -1),\ldots ,(\ell -1),\ell$ והקשר בינו לבין רכיב z של התנע הזוויתי הוא:

$$L_{z}=\hbar m$$

בהיעדר שדה מגנטי חיצוני, בחירת הציר היא שרירותית, ואפשר לתאר את $m\,\!$ כהיטל על כיוון כלשהו. הקונבנציה היא לבחור את ציר z. תכונה חשובה של אופרטורי תנע זוויתי היא שהם אינם קומוטטיביים (כלומר $\left[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}\right]\neq 0$). כיוצא בזאת, לא ניתן לדעת בו זמנית היטלים שונים של התנע הזוויתי - לא ניתן לדעת בו זמנית את $L_{x},L_{y},L_{z}\,\!$ (תכונה זו נובעת מעיקרון אי-הוודאות של הייזנברג). לכן היטל על ציר אחד, מספר אחד, מתאר את רכיבי התנע הזוויתי בצורה המלאה ביותר האפשרית.

המספר המגנטי של הספין $m_{s}$

האלקטרון הוא בעל ספין $\ {\frac {1}{2}}$, לכן $m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}\,\!$. גם כאן הכוונה לרכיב z של הספין, וציר זה נבחר באופן שרירותי. הקשר לרכיב z של הספין הוא:

$$S_{z}=\hbar m_{s}$$

ניוון

המשמעות של ניוון בהקשר זה היא שפתרונות עם $\ell ,m,m_{s}$ שונים, לדוגמה $\psi _{200{\frac {1}{2}}},\psi _{211{\frac {1}{2}}}\,\!$, הם בעלי אותה אנרגיה. אפשר להבין מדוע זה מתאפשר כאשר מתבוננים בביטוי לאנרגיה, הוא אינו תלוי במספרים הקוונטיים האחרים. באופן כללי, ניוון נובע מסימטריה של המערכת. זאת מפני שאופרטורי סימטריה הם חילופיים עם ההמילטוניאן. הניוון ב$m,m_{s}\,\!$ הוא הגורם לאפקט זימן הנורמלי והאנומלי. כאשר מפעילים שדה מגנטי חיצוני, מוסר הניוון, ומופיעות רמות אנרגיה חדשות (קווים חדשים בספקטרום האנרגיה). בנוסף, הניוון תורם לאנטרופיה של המערכת.

מקור הניוון ב-$m\,\!$ (א')

הניוון ב-$m\,\!$ נובע מהסימטריה תחת סיבוב של ההמילטוניאן. באופן עקרוני, תכונה זו אינה ייחודית לפוטנציאל קולומבי, אלא תנבע מכל פוטנציאל איזוטרופי (פוטנציאל שזהה בכל הכיוונים). מפני שיש סימטריה, ניתן להגדיר אופרטורים אשר חילופיים עם ההמילטוניאן. משמעות הדבר היא שמצבים שונים הם בעלי אותה אנרגיה.

במקרה של הניוון ב$m\,\!$, האופרטורים שמגדירים הם $L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}$ . אלו נקראים אופרטורי העלאה והורדה או אופרטורי סולם (Ladder Operators). הפעולה שלהם היא להגדיל או להקטין את הערך של m ביחידה אחת בהתאמה. מפני שאופרטורים אופרטורים אלו חילופיים עם $H\,\!$, יש בידינו אוסף מצבים שונים, שהם בעלי אנרגיה זהה.

מקור הניוון ב-$\ell \,\!$ (ב')

הניוון ב-$\ell \,\!$ ייחודי לפוטנציאלים מהצורה $V\propto {\frac {1}{r}}$. פוטנציאלים מוכרים מצורה זו הם: פוטנציאל קולון והפוטנציאל הגרביטציוני. בעבור פוטנציאלים מסוג זה, יש סימטריה רב ממדית, שעבורה וקטור לפלס-רונגה-לנץ נשמר. סימטריה זו היא הסימטריה שיוצרת את הניוון ב-$\ell$. אופרטור הסימטריה במקרה זה הוא מרוכב, ומוגדר כ- $N_{1}^{\pm 1}=\mp {\frac {N_{x}\pm iN_{y}}{\sqrt {2}}},N_{0}^{1}=N_{z}$ כאשר $N_{i}={\frac {1}{2m}}\left(P_{i}\times L_{i}-L_{i}\times P_{i}\right)-{\frac {e^{2}R_{i}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

פונקציית הגל

לפונקציית הגל של אטום המימן בקואורדינטות כדוריות יש את המבנה $\psi _{nlm}=R_{nl}\left(r\right)Y_{\ell }^{m}\left(\theta ,\phi \right)$, כאשר $R_{nl}\left(r\right)$ נקראת הפונקציה הרדיאלית ותלויה רק בקואורדינטה הרדיאלית $r\,\!$ ו$Y_{\ell }^{m}\left(\theta ,\phi \right)$ נקראת הרמוניה ספרית ותלויה רק בזוויות $\theta ,\phi \,\!$.

הפונקציה הרדיאלית

הפונקציה הרדיאלית של אטום המימן היא מהצורה הבאה:

$$R_{n\ell }\left(r\right)={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {\left(n-\ell -1\right)!}{2n\left[\left(n+\ell \right)!\right]}}}}e^{-{\frac {r}{na_{0}}}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }\left[L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\right]$$

$L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left(x\right)$ הם פולינומי לגר המוכללים.

$a_{0}\,\!$ הוא רדיוס בוהר ונתון על ידי

$$a_{0}\equiv {\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}=0.529\times 10^{-10}m$$

הפונקציות הרדיאליות הראשונות

$R_{10}=2a_{0}^{\frac {-3}{2}}e^{-{\frac {r}{a_{0}}}}$

$R_{20}={\frac {1}{\sqrt {2}}}a_{0}^{-{\frac {-3}{2}}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-{\frac {r}{2a_{0}}}}$

$R_{21}={\frac {1}{\sqrt {24}}}a_{0}^{-{\frac {-3}{2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-{\frac {r}{2a_{0}}}}$

מקורות

• Kragh, Helge (1999). Quantum Generations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-01206-7.
• Shankar, R (1994). Principles of Quantum Mechanics. Kluwer Academic/Plenum Publisher. ISBN 0-306-44790-8.
• Griffiths, David (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.

קישורים חיצוניים

• סימולציית ג'אווה אינטראקטיבית של פול פלסטד המתארת את האורביטלים של אטום המימן
• האופרטור הווקטורי רונגה-לנץ, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד
• הקזימירים של המימן, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30771196אטום המימן