מגוון (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מגוון הוא משפחה של חבורות, הסגורה ביחס לתת-חבורות, לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות, ולכן חקר המגוונים השונים שקול להבנת מערכות של זהויות.

דוגמאות

אוסף החבורות האבליות ${\mathcal {A}}$ הוא מגוון, המוגדר על ידי הזהות $[x_{1},x_{2}]=1$ . אוסף החבורות המקיים את הזהות $x^{n}=1$ הוא מגוון ברנסייד ${\mathcal {B}}_{n}$ . אוסף החבורות הנילפוטנטיות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון, המוגדר על ידי הקומוטטור המרובה באורך המתאים. גם אוסף החבורות הפתירות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון. עם זאת אוסף כל החבורות הנילפוטנטיות אינו מגוון (מכפלה של חבורות נילפוטנטיות שהמחלקה שלהן אינה חסומה, אינה נילפוטנטית).

לכל חבורה G, המגוון הקטן ביותר המכיל את G מסומן ב-VarG. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי החבורה הסימטרית $S_{3}$ מוגדר על ידי הזהויות $x^{6}=[x^{2},y^{2}]=1$ , והמגוון הנוצר על ידי חבורת הקווטרניונים מסדר 8 מוגדר על ידי הזהויות $x^{4}=1,[x,[y,z]]=1$ .

מכפלה ופירוק

המכפלה AB של מגוונים A,B מוגדרת כאוסף ההרחבות של חבורה מ-B בחבורה מ-A (כלומר כאוסף החבורות G עם תת-חבורה נורמלית N מ-A, עם מנה G/N השייכת ל-B). כל מגוון של חבורות, מלבד המגוונים הטריוויאליים (זה שכולל רק את החבורה הטריוויאלית וזה הכולל את כל החבורות) ניתן לפירוק באופן יחיד כמכפלה של מגוונים אי-פריקים.

בסיס סופי

קבוצת זהויות המגדירה מגוון, נקראת בסיס של המגוון הזה. אחת השאלות היסודיות על מגוון של חבורות היא האם יש לו בסיס סופי. למגוון הנוצר על ידי חבורה סופית תמיד יש בסיס סופי. הדוגמאות הראשונות למגוונים שאין להם בסיס סופי ניתנו ב-1969 (על ידי Olshanski, Adyan, Voghan-Lee, בשיטות שונות). דוגמה פשוטה יותר ניתנה ב-1973 (על ידי Bryant ו-Kleinman): אוסף הזהויות $\ (x_{1}^{2}\cdots x_{n}^{2})^{4}$ מגדיר מגוון, ${\mathcal {B}}_{4}{\mathcal {B}}_{2}$ , שאין לו בסיס סופי (לעומת זאת אם n,m זרים אז ${\mathcal {B}}_{n}{\mathcal {B}}_{m}$ מוגדר לפי הזהות $(x^{m}y^{m})^{n}$ .