מבחן t
בסטטיסטיקה, מבחן t הוא שם כולל לכמה מבחנים סטטיסטיים העוסקים בהשערות על התוחלת של נתונים המגיעים מהתפלגות נורמלית, כאשר השונות אינה ידועה.
במבחנים אלו, סטטיסטי המבחן מתפלג בהתפלגות t בהינתן שהשערת האפס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0} נכונה. אם המדגם גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות של האוכלוסייה שווה לשונות המדגם.
מבחני t מכונים גם מבחני סטודנט על פי שם העט של החוקר ויליאם גוסט שפיתח אותם.
שימושים עיקריים למבחני t
- מבחן השערות בו נרצה לקבל או לדחות השערות המתארות את ערכה של התוחלת באוכלוסייה כלשהי, על סמך מדגם בודד.
- מבחן השערות בו, על סמך שני מדגמים, נרצה לקבל או לדחות השערות בנוגע ליחס בין התוחלות של האוכלוסיות מהן לקוחים המדגמים (הווריאציה של מבחן זה עבור מקרים בהם לא נוכל להניח כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות בקירוב, נקראת לעיתים מבחן ולץ').
- מבחן השערות לתוחלת עבור דוגמאות מזווגות: מבחן השערות לגבי תוחלת של שתי אוכלוסיות שונות, במקרים בהם נוכל "לזווג" בין פרטים בין שתי האוכלוסיות.
- מבחני השערות בנוגע לקורלציה בין שני משתנים מקריים.
דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה
מעוניינים לבדוק את השערת האפס, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0: \mu = \mu_0} , כאשר השונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^2} אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,\dots,x_n} (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), רוצים לדחות או לקבל את ההשערה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_0 = \mu} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_0} נתון כלשהו.
לשם ההמשך, נסמן:
- ההשערה החלופית, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1:\mu \neq \mu_0}
- ממוצע המדגם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i} .
- השונות שנאמדה מתוך המדגם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_x}
בסימונים אלו, אם מתקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0} , אז הסטטיסטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}} יתפלג לפי התפלגות נורמלית סטנדרטית (ראו משפט הגבול המרכזי). אולם, היות שהשונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^2} אינה ידועה, לא ניתן להשתמש בסטטיסטי זה.
עם זאת, ניתן להשתמש בסטטיסטי העושה שימוש באמד חסר הטיה לשונות המחושב מתוך המדגם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}}} . מכיוון שהמכנה אינו קבוע, סטטיסטי זה אינו מתפלג נורמלית; ההתפלגות שלו היא התפלגות t, עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} דרגות חופש.
נותר רק לקבוע את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0} עבור שגיאת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} (לשגיאה מהסוג הראשון), כלשהי:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}\left( -T < \frac{\bar{X} - \mu_0}{S_x} < T \right) = 1 - \alpha \Rightarrow T= t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}} }
כלומר,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mathbb{P}\left( -t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}} < t_{(n-1),1-\frac{\alpha}{2}} \right) \end{align} }
לפי המבחן שחושב, בהתקבל מדגם, תידחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}}\right| > t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}}} .
הערה
התפלגות t מתכנסת להתפלגות נורמלית ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 30 < n} ) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי התפלגות נורמלית סטנדרטית.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] מבחן t24539802