מבחן t

בסטטיסטיקה, מבחן t הוא שם כולל לכמה מבחנים סטטיסטיים העוסקים בהשערות על התוחלת של נתונים המגיעים מהתפלגות נורמלית, כאשר השונות אינה ידועה.

במבחנים אלו, סטטיסטי המבחן מתפלג בהתפלגות t בהינתן שהשערת האפס $H_{0}$ נכונה. אם המדגם גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות של האוכלוסייה שווה לשונות המדגם.

מבחני t מכונים גם מבחני סטודנט על פי שם העט של החוקר ויליאם גוסט שפיתח אותם.

שימושים עיקריים למבחני t

• מבחן השערות בו נרצה לקבל או לדחות השערות המתארות את ערכה של התוחלת באוכלוסייה כלשהי, על סמך מדגם בודד.
• מבחן השערות בו, על סמך שני מדגמים, נרצה לקבל או לדחות השערות בנוגע ליחס בין התוחלות של האוכלוסיות מהן לקוחים המדגמים (הווריאציה של מבחן זה עבור מקרים בהם לא נוכל להניח כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות בקירוב, נקראת לעיתים מבחן ולץ').
• מבחן השערות לתוחלת עבור דוגמאות מזווגות: מבחן השערות לגבי תוחלת של שתי אוכלוסיות שונות, במקרים בהם נוכל "לזווג" בין פרטים בין שתי האוכלוסיות.
• מבחני השערות בנוגע לקורלציה בין שני משתנים מקריים.

דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה

מעוניינים לבדוק את השערת האפס, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת :$H_{0}:\mu =\mu _{0}$, כאשר השונות $\sigma ^{2}$ אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, $x_{1},\dots ,x_{n}$ (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), רוצים לדחות או לקבל את ההשערה ש-$\mu _{0}=\mu$ עבור $\mu _{0}$ נתון כלשהו.

לשם ההמשך, נסמן:

• ההשערה החלופית, $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$
• ממוצע המדגם: ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$.
• השונות שנאמדה מתוך המדגם: $S_{x}$

בסימונים אלו, אם מתקיימת $H_{0}$, אז הסטטיסטי ${\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$ יתפלג לפי התפלגות נורמלית סטנדרטית (ראו משפט הגבול המרכזי). אולם, היות שהשונות $\sigma ^{2}$ אינה ידועה, לא ניתן להשתמש בסטטיסטי זה.

עם זאת, ניתן להשתמש בסטטיסטי העושה שימוש באמד חסר הטיה לשונות המחושב מתוך המדגם: ${\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}$. מכיוון שהמכנה אינו קבוע, סטטיסטי זה אינו מתפלג נורמלית; ההתפלגות שלו היא התפלגות t, עם $n-1$ דרגות חופש.

נותר רק לקבוע את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית $H_{0}$ עבור שגיאת $\alpha$ (לשגיאה מהסוג הראשון), כלשהי:

$\mathbb {P} \left(-T<{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S_{x}}}<T\right)=1-\alpha \Rightarrow T=t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}$

כלומר,

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(-t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}<{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}<t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\end{aligned}}$

לפי המבחן שחושב, בהתקבל מדגם, תידחה $H_{0}$ אם $\left|{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}\right|>t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}$.

הערה

התפלגות t מתכנסת להתפלגות נורמלית ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-$30<n$) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי התפלגות נורמלית סטנדרטית.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24539802מבחן t