למת שוורץ

באנליזה מרוכבת, למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית מעיגול היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות. הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות.

את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ. הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט ההעתקה של רימן.

ניסוח

יהי $D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ עיגול היחידה ללא השפה.

תהי $f:D\rightarrow D$ פונקציה אנליטית, כך ש-$f(0)=0$. מתקיים:

• $\forall z\in D:|f(z)|\leq |z|$.
• $|f'(0)|\leq 1$.

אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור $z\neq 0$, או שמתקיים שוויון בסעיף השני, אזי קיים $c\in \mathbb {C} ,|c|=1$ כך ש-$\forall z\in D:f(z)=cz$.

הוכחה

נגדיר פונקציית עזר:

$g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\quad z\neq 0\\f'(0)\quad \quad z=0\end{cases}}$

אז $g$ אנליטית על $D$. לכל $\varepsilon >0$ ולכל $|z|\leq 1-\varepsilon$ מתקיים לפי עקרון המקסימום:

$|g(z)|\leq \max _{|z|=1-\varepsilon }{|g(z)|}=\max _{|z|=1-\varepsilon }{\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|}\leq {\frac {1}{1-\varepsilon }}$

אם משאיפים $\varepsilon \rightarrow 0$, שוב לפי עקרון המקסימום מקבלים $\forall z\in D:|g(z)|\leq 1$, כלומר $\forall z\in D:|f(z)|\leq |z|$ (הגרירה היא לכל $z\neq 0$, אך ל-$z=0$ זה ברור). בפרט, עבור אי השוויון ל-$g$ ב-$z=0$ מקבלים $|f'(0)|\leq 1$.

כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש-$g(z)=1$ עבור נקודה פנימית של $D$, ולכן לפי עקרון המקסימום $g$ קבועה ושווה לקבוע עם ערך מוחלט 1, ולכן מקבלים $f(z)=cz,|c|=1$.

למת שוורץ-פיק

גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק):

תהי $f:D\rightarrow D$ אנליטית. אז לכל $z_{1},z_{2}\in D$ מתקיים:

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$

ומתקיים אי שוויון שוורץ-פיק:

${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$

הוכחה

לכל $a\in D$ נגדיר $\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}$. קל לבדוק כי $\phi :D\to D$ אנליטית והפיכה, עם הפכית ${\phi }_{-a}$.

אם כן הטענה שצריך להוכיח היא $|{\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{1}))|\leq |{\phi }_{z_{2}}(z_{1})|$. היות שהפונקציה הפיכה, אפשר להחליף $z_{1}\rightarrow {\phi }_{-z_{2}}(z_{1})$, ונקבל ששקול להוכיח $|{\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))|\leq |z_{1}|$.

כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר $G(z_{1})={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))$. אז $G:D\rightarrow D$, ומתקיים $G(0)={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(0)))={\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{2})))=0$, ולכן מקבלים הדרוש.

כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {1}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$; אי השוויון נובע כאשר משאיפים $z_{1}\rightarrow z_{2}$.

תוצאות נוספות

להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ.

• כל פונקציה אנליטית $f:D\rightarrow D$ בעלת שתי נקודות שבת היא הזהות.
• יהי $H=\{z:\operatorname {Im} z>0\}$ חצי המישור המרוכב העליון. כל פונקציה $f:H\rightarrow H$ מקיימת את אי השוויון:

$\forall z_{1},z_{2}\in H:\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}$.

• משפט רוגוזינסקי - כל $f:D\rightarrow D$ אנליטית שאיננה מתאפסת מקיימת $|f'(0)|\leq {\frac {2}{e}}$.

לקריאה נוספת

• S. Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford