למת הנחש
למת הנחש הוא משפט באלגברה הומולוגית העוסק בזוג סדרות קצרות מדויקות עם העתקות ביניהן, שיוצרות דיאגרמה מתחלפת. המשפט קושר בין הגרעינים והקו-גרעינים של ההעתקות הנתונות, באופן המאפשר לקבל סדרה מדויקת חדשה.
ללמת הנחש תפקיד מרכזי בהוכחת הדיוק של סדרת מאייר-ויאטוריס המקשרת בין ההומולוגיה של מרחב טופולוגי לבין ההומולוגיה של כיסוי פתוח שלו.
נוסח פורמלי
יהיו $ A,B,C,A',B',C' $ חבורות אבליות או מודולים מעל חוג או באופן כללי יותר אובייקטים של קטגוריה אבלית נתונה, ונניח כי הדיאגרמה הבאה מתחלפת,
כאשר $ f,g,f',g',a,b,c $ הומומורפיזמים, וכן השורה העליונה והשורה התחתונה מהוות סדרות קצרות מדויקות.
אזי קיים הומומורפיזם טבעי $ d $ כך שמתקבלת סדרה מדויקת מהצורה, $ \ker a\to \ker b\to \ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~~{\text{coker}}~a\to {\text{coker}}~b\to {\text{coker}}~c $
בנוסף, אם $ f $ הוא מונומורפיזם, אז גם החץ $ \ker a\to \ker b $ הוא מונומורפיזם. כמו כן, אם $ g' $ הוא אפימורפיזם אז גם החץ $ {\text{coker}}~b\to {\text{coker}}~c $ הוא אפימורפיזם.
הסיבה לשם למת הנחש, הוא האופן בו נבנית הסדרה המדויקת מתוך הדיאגרמה:
בניית ההעתקות של הסדרה המדויקת
ההעתקות בין הגרעינים והקו-גרעינים מושרות באופן טבעי. לכן גם הדיוק של חלקה הראשון של הסדרה והדיוק של חלקה השני מתקבלים מההנחה כי הסדרות המקוריות מדויקות. האתגר המרכזי הוא בניית ההעתקה $ d $.
נתאר את בניית ההעתקה $ d $ עבור המקרה של חבורות אבליות או מודולים מעל חוג: יהי $ x\in \ker c $.
נתבונן בשיכון הטבעי $ x\hookrightarrow C $, ונשתמש בכך ש-$ g $ העתקה על. אז יש $ y\in B $ שעבורו $ g(y)=x $.
מהתחלפות הדיאגרמה נובע כי $ g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0 $, כאשר השוויון האחרון הוא כי $ x\in \ker c $.
מהיות השורה התחתונה מדויקת, נובע שקיים $ z\in A' $ המקיים $ f'(z)=b(y) $, והוא יחיד מההנחה כי $ f' $ חח"ע.
נגדיר אם כך $ d(x):=z+{\text{im}}~a\in {\text{coker}}~a $.
ניתן להראות כי $ d $ אכן מוגדרת היטב, כי היא הומומורפיזם וכי אכן מתקבלת סדרה מדויקת.
טבעיות
כפי שהוזכר לעיל, ההעתקה $ d $ היא טבעית. כלומר, נתבונן במצב של דיאגרמה המתארת סיטואציה כפולה מזו שבלמת הנחש,
כאשר בנוסף להתחלפות של הדיאגרמה בעלת האינדקס 1 והדיאגרמה בעלת האינדקס 2, יש גם התחלפות של כל הדיאגרמה התלת-ממדית.
אז ניתן לקבל זוג סדרות ארוכות מדויקות על ידי הפעלת למת הנחש פעמיים, ומתקבלות העתקות בין הסדרות הארוכות המדויקות הללו בצורה הבאה,
כאשר זו דיאגרמה מתחלפת.
קישורים חיצוניים
למת הנחש34000801Q1064342